Elemento primitivo

[francicko]

Sia $F$ un campo siano $alpha$ e $beta$ elementi algebrici su $F$, con $[F(alpha):F]=[F(beta):F]=2$ come. posso dimostrare che $F(alpha+beta)=F(alpha,beta)$ cioè che $F(alpha,beta)$ è un estensione semplice ed $(alpha+beta)$ e quindi un elemento primitivo?

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Non lo puoi dimostrare, perché è falso.

[francicko]

Perché è falso? Puoi riportare un esempio?

[hydro1]

"francicko":Perché è falso? Puoi riportare un esempio?

Una curiosità mia: ma quando posti queste domande a caso provi a pensare e scrivere dei tentativi concreti per più di 5 minuti oppure ti vengono in mente e le posti immediatamente?

[megas_archon]

"hydro":[quote="francicko"]Perché è falso? Puoi riportare un esempio?

Una curiosità mia: ma quando posti queste domande a caso provi a pensare e scrivere dei tentativi concreti per più di 5 minuti oppure ti vengono in mente e le posti immediatamente?[/quote] La risposta è nei precedenti 3150 messaggi.

(Per il resto, chiunque con chiare le definizioni può trovare un controesempio...)

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"francicko":Perché è falso? Puoi riportare un esempio?

Per esempio, cosa succede se $alpha+beta=0$ ?

[francicko]

Se $alpha+beta=0$ ovviamente non può essere un elemento primitivo, però implica che $beta=-alpha$ cioè
$alpha$ e $beta$ sono soluzioni dello stesso polinomio minimo in $F$ e questo si verifica solamente nel caso di un polinomio del tipo $x^2-a$ con $a$ $in $ $F$ e quindi avremo $F(alpha)=F(beta)$ , banalmente un estensione semplice, se fosse $F(alpha)$ $nn$ $F(beta)$ $=F$? Sarebbe vero che l'elemento $alpha+beta$ è primitivo ? Perdonatemi se ho scritto eresie ma il mio livello d'intelligenza a riguardo è piuttosto basso .

[hydro1]

Il problema qui non è l’intelligenza, il problema è che ti rifiuti di studiare nel modo in cui io e gli altri utenti ti diciamo di fare da anni, ovvero partendo dalle basi. La teoria di Galois non è la base, a te servono algebra 1 e 2 e algebra lineare. Pretendere di imparare come fai tu è come pretendere di imparare a tradurre il greco antico senza aver studiato neanche l’alfabeto.

[francicko]

D'accordo, ma qui la proposizione non mi sembra particolarmente complessa, è ovvio che se $(alpha+beta)$ $in$ $F$ l'elemento $beta$ e $alpha$ risultano combinazione lineare l'uno dell'altro , quindi banalmente sia $alpha$ che $beta$ possono essere considerati elementi primitivi , cioè $F(alpha)=F(beta)$, e mi sembra evidente che se vogliamo che $(alpha+beta)$ possa essere un elemento primitivo non debba appartenere a $F$, prendiamo il caso elementare del polinomio in $Q$ seguente , $(x^2-2)(x^2-3)$ in questo caso $Q(sqrt2)$ $nn$ $Q(sqrt(3))$ $=Q$ ed infatti l'elemento $c=(sqrt2+sqrt3)$ risulta elemento primitivo
cioè si può fare vedere facilmente che sia $sqrt2$ che $sqrt3$ risultano combinazione di un polinomio in $c$, mi sbaglio?

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Prima ti riconduci al caso $alpha^2,beta^2 in F$. Poi scrivi $gamma = alpha+beta$. Se la caratteristica di $F$ è diversa da $2$ allora $alpha beta = (gamma^2-alpha^2-beta^2)/2$ appartiene a $F(gamma)$. Quindi $alpha beta gamma in F(gamma)$. Da qui devi dedurre che $alpha$ (e di conseguenza anche $beta$) appartiene a $F(gamma)$. Non è difficile.

Se $F$ ha caratteristica $2$ le cose sono un po' più complicate.

[francicko]

Se prendo $F=QQ$ quindi a caratteristica zero, si vede facilmente che $(sqrt2+sqrt3)$ è un elemento primitivo, infatti $(11sqrt2+9sqrt3)/2-(9sqrt2+9sqrt3)/2=sqrt2$ $in$ $QQ(sqrt2+sqrt3)$, da cui si ottiene che vi appartiene anche $sqrt3=(sqrt2+sqrt3)-sqrt2$, questo fatto lo si può sicuramente ottenere in generale qualunque siano $alpha$ e $beta$ algebrici in $QQ$, e poi facilmente per piu elementi, ecco mi interessa scrivere la dimostrazione generale.

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"francicko":mi interessa scrivere la dimostrazione generale.

Te l'ho scritta nel mio intervento precedente. Perché non la leggi?