Elemento neutro struttura

[Leonardo202]

Salve scusate avrei questa struttura:

$K=Z7 \ {0} X Z $

conq quest'operazione:

$(a,b) @ (c,d) = (3ac,b+d+5)$

il neutro lo trovo cosi:

$(a,b)@(u,v)=(a,b)$

ora per quanto riguarda v non ci sono problemi in quanto ho fatto:

b+v+5=b ossia b=-5

ma per questo:
3au=a stiamo in Z7 come posso fare??

cioe risolvendo mi viene
u=a/3a ossia u=1/3 possibile??

grazie

[Richard_Dedekind]

Un attimo, vediamo di precisare. Si definisce una struttura algebrica [tex](K,\circ)[/tex] dove [tex]K=\mathbb{Z}_7^*\times \mathbb{Z}[/tex] e con, [tex]\forall (a,b),(c,d)\in K,\,\,\, (a,b)\circ (c,d)=(3ac,b+d+5)[/tex].
Come tu dici, per trovare l'elemento neutro di [tex]\circ[/tex] si deve trovare una coppia [tex](u,v)[/tex] tale che sia verificata
[tex](a,b)\circ (u,v)=(a,b)\,\,\,\forall (a,b)\in K[/tex]. Si ottiene
[tex](3au,b+v+5)=(a,b)[/tex]
da cui, immediatamente, [tex]v=-5[/tex]. Per l'altra componente, si tratta solo di ricordarsi dove stiamo lavorando. L'uguaglianza [tex]3au=a[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_7^*[/tex] si può riscrivere come [tex](3u)a=a\Rightarrow 3u=1[/tex] in quanto [tex]\mathbb{Z}_7^*[/tex] è un campo privato dello zero. Ma allora basta trovare l'inverso moltiplicativo di [tex]3\,\mod 7[/tex], che è [tex]5:\,\,3\cdot 5 =15 \equiv 1\,\mod 7[/tex]. Dunque l'unità di [tex]K[/tex] è semplicemente [tex]1_K=(5,-5)[/tex].