Elemento inverso

[pagliagiorgia]

Ciao ragazzi, devo determinare l'elemento inverso di $(bar1+bar2*barx)$ nell'anello quoziente $F=ZZ//3ZZ[x] //(x^2+1)$.
Ho la soluzione che è $(bar2+bar2*barx)$, e so che devo usare l'algoritmo euclideo, ma non so il procedimento! grazie a tutti e buone feste!!

[j18eos]

Non capisco chi sia l'anello quoziente!?

[pagliagiorgia]

è l'anello quoziente $F=K[x]//(f)$ per $K=ZZ//3ZZ$ e $f=x^2+1 in K[x]$

[Lorin1]

In modo più ordinato puoi dire che l'anello quoziente è $(ZZ_3[x])/((x^2+1))$

[j18eos]

Ponendo [tex]$I=(x^2+1)$[/tex] tu consideri il laterale [tex]$1+2x+I$[/tex] in [tex]$\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{I}$[/tex], quindi devi trovare il laterale [tex]$a+bx+I$[/tex] tale che [tex]$(1+2x+I)\cdot(a+bx+I)=I\iff(1+2x)\cdot(a+bx)\in I$[/tex], ovvero devi trovare il polinomio quoziente della divisione euclidea di [tex]$x^2+1$[/tex] con [tex]$1+2x$[/tex].

[pagliagiorgia]

cosa devo fare con la divisione euclidea? è giusto che $x^2+1=(2x+1)*(1/2x-1/4)+5/4$?

[j18eos]

Non siamo nel campo [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] ma nel campo [tex]$\mathbb{Z}_3$[/tex], per capirci: l'elemento inverso di [tex]$\overline2$[/tex] è esso stesso e non [tex]$\frac{1}{2}$[/tex]!

[pagliagiorgia]

an ok allora in $ZZ//3ZZ$ ho $x^2+1=(2x+1)*(2x-1)+2$?

[gygabyte017]

esatto, e quindi il polinomio quoziente è $(2x-1)$ che corrisponde in $ZZ_3$ proprio alla tua soluzione $(2x+2)$.

[pagliagiorgia]

come passo da $2x-1$ a $2x+2$?

[Lorin1]

Hai presente l'aritmetica modulare!?

[gygabyte017]

bè in $ZZ_3$ hai che $-1 \-= 2$ cioè la classe di $-1$ è la stessa di $2$, quindi $2x-1$ e $2x+2$ appartengono alla stessa classe in quell'anello!

[pagliagiorgia]

ho capito grazie a tutti!