Elemento di un campo

[maxpix]

Buon pomeriggio, un esercizio chiede di trovare un elemento di B, $B = (A[x])/(x^3+x+1) $ con $A = Z_2$, che abbia ordine 7 rispetto all'operazione di prodotto.
Sappiamo che |B| = 8.
Ci sono alcune cose non mi sono chiare per quanto riguarda la soluzione.
Innanzitutto, partendo da B, prende in esame $B $\$ {0}$. Toglie lo 0 perchè il quesito chiede di trovare un elemento di ordine 7 rispetto al prodotto? e quindi 0 è elemento nullo per il prodotto?
Poi, successivamente, pone $z = x + (x^3+x+1)$ dicendo poi che è un sottogruppo di B\{0}. Perchè assegna a z questo polinomio?
Grazie

[Studente Anonimo]

Prova a dimostrare che $z^3 = z+1$. Se riesci a farlo non ti dovrebbe essere difficile calcolare le successive potenze di $z$, cioè $z^4, z^5$ e così via.

[dan952]

$B$ è un campo [nota]Infatti $x^3+x+1$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ (che è un campo) quindi l'ideale che genera è massimale[/nota] di conseguenza anche un gruppo moltiplicativo $(B_{/{0}},\cdot)$ dunque lo 0 non è un elemento invertibile quindi va levato.

[dan952]

Giusto per... $|B_{/{0}}|=7$ perché non c'è il polinomio nullo

[maxpix]

quindi sulla prima parte ci sono ma non capisco le assegnazioni che fa a z

[dan952]

In realtà quello che intendeva con $z=x+(x^3+x+1)$ non è il polinomio $x^3+2x+1$ ma $z=x+I$ dove $I=(x^3+x+1)$ è appunto l'ideale generato da $x^3+x+1$

[maxpix]

si questo lo sapevo però, quello che non capisco, sono le successive assegnazioni per z.
z è un gruppo ciclico cioè un gruppo formato da tutte potenze di z.
Quindi $z = x + (x^3+x+1)$ o x + I ma z^2, z^3...z^7? non capisco come vengono calcolate

[dan952]

Partiamo dal fatto che il gruppo moltiplicativo $(B-{0},\cdot)$ ha ordine 7 che è primo quindi è ciclico, dunque avrà un generatore facciamo vedere che questo generatore è proprio $z$.
$z=x+I$
$z^2=(x+I)(x+I)=x^2+2xI+I^2=x^2+I$
$z^3=x^3+I=x+1+I$
$z^4=x^4+I=x^2+x+I$[nota]Nota che $x^2+x$ è il resto della divisione di $x^4$ per $x^3+x+1$, stessa cosa per le potenze successive.[/nota]
...

[maxpix]

anche $x+1$ di z^3 è il resto della divisione di $x^3$ per $x^3+x+1$ allora?
invece perchè $x^2+2xI+I^2 = x^2+I$?

[dan952]

"maxpix":anche $ x+1 $ di z^3 è il resto della divisione di $ x^3 $ per $ x^3+x+1 $ allora?

Si, il resto della divisione di $x^3$ per $x^3+x+1$ è $-x-1$
ma poiché stiamo in $ZZ_2[x]$, diventa $x+1$ ($[-1]_2=[1]_2$)

"maxpix":
invece perchè $ x^2+2xI+I^2 = x^2+I $?

Cosa non ti è chiaro?
Perché ho scritto $I$ al posto di $2xI+I^2$ ?
Ricorda che $I$ è un ideale quindi $2xI+I^2 \in I$

[maxpix]

Forse quello che non mi è chiarissimo sono le divisioni tra polinomi in $Z_n$