Elementi universali frecce universali
Stavo guardando una cosa sulle Categories di Mac Lane e c'è un dettaglio che non mi è chiaro.
Nel seguito, se \( C \) e \( D \) sono categorie, \( c\in C \) è un oggetto di \( C \) e \( S\colon D\to C \) è un funtore, chiamo freccia universale da \( c \) a \( S \) un elemento iniziale (r\in D, u\colon c\to S(r)) della categoria virgola \( c/S \).
Se \( S\colon D\to \mathsf{Set} \) è un funtore a valori nella categoria degli insiemi, chiamo inoltre un elemento universale di \( S \) una coppia \( (r\in D,e\in S(r)) \) tale che per ogni coppia \( (d\in D,x\in S(d)) \) esista e sia unico un morfismo \( f^\prime\colon r\to d \) tale che \( x = S(f^\prime)(e) \).
Nel libro è spiegato come passare da una freccia universale per un funtore \( S\colon D\to C \) a un elemento universale per il funtore composto \( \hom_C(c,S({-})) \), e come passare da un elemento universale per un funtore \( S\colon D\to \mathsf{Set} \) a una freccia universale sempre per lo stesso funtore.
Io mi stavo chiedendo: se prendo un funtore \( S\colon D\to \mathsf{Set} \), un insieme \( X\in \mathsf{Set} \), e una freccia universale (r,u) da \( X \) a \( S \), posso trovare un elemento universale di \( S \) che corrisponda in qualche modo alla freccia universale da \( X \) a \( S \) che ho considerata in partenza?
Nel seguito, se \( C \) e \( D \) sono categorie, \( c\in C \) è un oggetto di \( C \) e \( S\colon D\to C \) è un funtore, chiamo freccia universale da \( c \) a \( S \) un elemento iniziale (r\in D, u\colon c\to S(r)) della categoria virgola \( c/S \).
Se \( S\colon D\to \mathsf{Set} \) è un funtore a valori nella categoria degli insiemi, chiamo inoltre un elemento universale di \( S \) una coppia \( (r\in D,e\in S(r)) \) tale che per ogni coppia \( (d\in D,x\in S(d)) \) esista e sia unico un morfismo \( f^\prime\colon r\to d \) tale che \( x = S(f^\prime)(e) \).
Nel libro è spiegato come passare da una freccia universale per un funtore \( S\colon D\to C \) a un elemento universale per il funtore composto \( \hom_C(c,S({-})) \), e come passare da un elemento universale per un funtore \( S\colon D\to \mathsf{Set} \) a una freccia universale sempre per lo stesso funtore.
Io mi stavo chiedendo: se prendo un funtore \( S\colon D\to \mathsf{Set} \), un insieme \( X\in \mathsf{Set} \), e una freccia universale (r,u) da \( X \) a \( S \), posso trovare un elemento universale di \( S \) che corrisponda in qualche modo alla freccia universale da \( X \) a \( S \) che ho considerata in partenza?
Risposte
Sì, e le due nozioni coincidono: una freccia universale $c\to S$ è un oggetto iniziale della categoria comma \((c/S)\), un elemento universale è un oggetto iniziale della categoria degli elementi di $S : D\to Set$. Del resto, per un tale S e per un insieme $X$, la comma \((X/S)\) è esattamente la categoria degli elementi di \(\hom_C(X,S-)\).
Sì sì questo lo sapevo. Però così stai identificando la comma \( (X/S) \) con la categoria degli elementi di \( \hom_C(X,S({-})) \).
Io mi chiedevo che relazione ci fosse tra \( (X/S) \) e la categoria degli elementi di \( S\).
Io mi chiedevo che relazione ci fosse tra \( (X/S) \) e la categoria degli elementi di \( S\).
Ah, avevo capito male.
Boh, per esempio la categoria degli elementi di S è \((1/S)\), e in generale c'è un funtore \((X/S)\to (1/S)=Elts(S)\) indotto dalla freccia terminale $X\to 1$... più in particolare non si può dire granché, o perlomeno non saprei cosa guardare.
Puoi farti le solite domande: quando questo funtore sia full, faithful, conservativo, un'equivalenza... ma sospetto non lo sia "mai" per nessun X con \(>1\) elementi (certo, se $S$ è stupidissimo può esserlo anche in altri casi... per esempio la categoria degli elementi del costante nel terminale di $Set$, o casi degeneri di questo tipo).
Ma sto andando super a braccio, se hai un esempio specifico di S che ti interessa scrivilo!
Boh, per esempio la categoria degli elementi di S è \((1/S)\), e in generale c'è un funtore \((X/S)\to (1/S)=Elts(S)\) indotto dalla freccia terminale $X\to 1$... più in particolare non si può dire granché, o perlomeno non saprei cosa guardare.
Puoi farti le solite domande: quando questo funtore sia full, faithful, conservativo, un'equivalenza... ma sospetto non lo sia "mai" per nessun X con \(>1\) elementi (certo, se $S$ è stupidissimo può esserlo anche in altri casi... per esempio la categoria degli elementi del costante nel terminale di $Set$, o casi degeneri di questo tipo).
Ma sto andando super a braccio, se hai un esempio specifico di S che ti interessa scrivilo!
"megas_archon":No è che a una certa Mac Lane riferendosi alle frecce universali agli elementi universali e ai soliti isomorfismi naturali scrive che "each [...] notion[...] subsumes the other two", ma il punto è che lo fa in un modo particolare.
Ma sto andando super a braccio, se hai un esempio specifico di S che ti interessa scrivilo!
In modo "particolare" nel senso che una freccia universale \( (u,r) \) da \( c \) a \( S \) è un elemento universale di \( T = \hom_C(c,S({-})) \), e la cosa non cambia se al posto di \( S\colon D\to C \) prendo \( S\colon D\to \mathsf{Set} \); cioè da \( (r,u) \) non cavo un elemento universale di \( S \)...
La domanda era: "E se io volessi farlo?", però boh appunto mi sembra di avere a che fare con due cose diverse.
EDIT. Forse ho capito una cosa, poi scrivo.
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