Elementi trascendenti

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio:
Dimostrare che $QQ(π)$ e $QQ(e)$ sono isomorfi. (suggerimento: Usare il fatto che $π$ ed $e$ sono trascendenti in $CC$)

Ho provato a riflettere sul fatto che questi siano trascendenti ma l'unico teorema che mi viene in mente da poter sfruttare in qualche modo e' che se un elemento e' trascendente allora $QQ[π]$ e $QQ[x]$ sono isomorfi ma in questo caso ho $QQ(π)$ e non $QQ[π]$ e se l'elemento e' trascendente queste due scritture sono diverse.
Ho allora provato a costruire la mappa $QQ(π)->QQ(e)$ che consiste nel sostituire a tutti i $π$ dell'elemento a sinistra $e$ e ho verificato che si tratta di un omomorfismo prima e poi di un isomorfismo ma non mi convince come soluzione perche' secondo me sarebbe piu' corretto e pulito utilizzare il suggerimento

[killing_buddha]

Due campi isomorfi hanno gli stessi campi dei quozienti, perché la localizzazione è un funtore.

Oppure, la mappa che manda $\pi$ in $e$ è un isomorfismo. $\pi$ ed $e$ sono solo nomi per delle indeterminate...

[ludovica.sarandrea]

"killing_buddha":Due campi isomorfi hanno gli stessi campi dei quozienti, perché la localizzazione è un funtore.

Oppure, la mappa che manda $\pi$ in $e$ è un isomorfismo. $\pi$ ed $e$ sono solo nomi per delle indeterminate...

Questa e' la soluzione alternativa che infatti ho seguito ma volevo qualche suggerimento per utilizzare il fatto che fossero trascendenti, come mi viene suggerito

[killing_buddha]

Non è niente di diverso dal dimostrare che quando $a$ è $F$-trascendente per una estensione di campi $E|F$, allora $F(a)$ è isomorfo al campo delle frazioni dell'anello dei polinomi $F(X)$. Se n'è parlato quihttps://www.matematicamente.it/forum ... 0#p8306410