Elementi primitivi in $ZZ_n$

[miriam161089]

buongiorno,
ho questo esercizio:
determinare gli elementi primitivi di $ZZ_15$

io penso che siano gli elementi coprimi con 15
è giusto?

grazie mille

[miriam161089]

nessuno sa darmi una risposta?

[maurer]

E' ovviamente giusto (e mi è appena venuta in mente una dimostrazione categoriale che non ti interesserà!).
Come dimostrarlo "con le mani"? Vediamo in generale per [tex]\mathbb Z_n[/tex]. Supponi che [tex]\overline{m}[/tex] sia un generatore. Allora si potrà scrivere [tex]\overline{1} = k \cdot \overline{m} = \overline{k} \cdot \overline{m}[/tex], da cui seguirà che [tex]mk = 1 + hn[/tex] e quindi (per Bézout) otteniamo che [tex]\text{gcd}(m,n) = 1[/tex]. Viceversa, supponiamo che [tex]\text{gcd}(m,n) = 1[/tex]; allora per Bézout si ottiene [tex]mk + hn = 1[/tex] e quindi [tex]\overline{m} \cdot \overline{k} = 1[/tex], da cui segue pure che [tex]\overline{m}[/tex] è un generatore.

[miriam161089]

grazie mille