Elementi neutri

[faby99s]

Buonasera a tutti.

Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue:

$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$

e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario.

Ho già verificato che:

[list=1][*:ocn62dgz] $(S,+)$ è gruppo abeliano

[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $(S,**)$ è un semigruppo

[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a $+$;[/*:m:ocn62dgz][/list:o:ocn62dgz]

poi ho verificato che l'operazione $**$ non è commutativa.
Ora ho problemi con il provare che $(S,+,**)$ sia un anello unitario; in particolare, ho trovato che $**$ ha infiniti elementi neutri a sinistra ma non ne ha a destra.
Infatti, ho ragionato così:

[*:ocn62dgz] $(alpha, beta)$ è neutro a sinistra in $(S,*)$ se e solo se $(alpha, beta)*(c,d) = (c,d)$, ossia solo se $(alpha c, alpha d) =(c,d)$; ciò si verifica solo quando:

$\{ (alpha c = c), (alpha d = d):}$ per ogni $c,d in ZZ$,

cioè solo se $alpha =1$ (per Legge di Cancellazione); quindi ogni coppia del tipo $ (1,beta) $, con $beta in ZZ$, è un elemento neutro a sinistra per $**$;

[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $(alpha, beta)$ è neutro a destra in $(S,**)$ se e solo se $(a,b)*(alpha,beta) = (a,b)$, ossia se e solo se $(a alpha,a beta)=(a,b)$; ma ciò si verifica solo se:

$\{(a = a alpha), (b = a beta):}$ per ogni $a,b in ZZ$

e la seconda condizione non è realizzabile per nessun $beta$ indipendente da $a$ e $b$; quindi $**$ non ha nessun elemento neutro a destra.[/*:m:ocn62dgz][/list:u:ocn62dgz]

Dunque ho un anello non commutativo e non unitario.

Sapete dirmi come posso fare per trovarmi altri neutri a sinistra?

[xdom="gugo82"]Sistemate le formule e riscritto completamente il post, correggendo errori non solo matematici, ma anche grammaticali ed ortografici.

Gentile sara09, i post non vanno scritti copiando/incollando testi di thread chiusi, bensì con impegno, cura ed amore (non tanto per la Matematica, quanto per te stessa ed il modo di esprimere le tue idee e di descrivere il tuo lavoro).[/xdom]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ciao Sara09, se non vado errato ti hanno già detto di scrivere le domande in LaTeX... e ti avevano chiuso la domanda perché non lo avevi fatto, riscrivi in LaTeX la domanda. Sai come si fa?

[faby99s]

"3m0o":Ciao Sara09, se non vado errato ti hanno già detto di scrivere le domande in LaTeX... e ti avevano chiuso la domanda perché non lo avevi fatto, riscrivi in LaTeX la domanda. Sai come si fa?

Intendi le "formule" sopra.. la mia domanda è come faccio a trovare altri neutri a sinistra oltre quello che già ho trovato?

[gugo82]

@ sara09: Ho riscritto il tuo post, evidenziando come cose apprese tra i banchi di scuola (e.g., la Legge di Cancellazione -argomento delle medie o di primo superiore- ) ti aiuti a determinare quello che ti serve.

[faby99s]

"gugo82":@ sara09: Ho riscritto il tuo post, evidenziando come cose apprese tra i banchi di scuola (e.g., la Legge di Cancellazione -argomento delle medie o di primo superiore- ) ti aiuti a determinare quello che ti serve.

grazie ma quindi per questo "cioè solo se α=1 (per Legge di Cancellazione); quindi ogni coppia del tipo (1,β), con β∈Z, è un elemento neutro a sinistra per ∗" qualsiasi valore do a $ beta $ la coppia è un neutro a sinistra?

[gugo82]

Credo tu sappia leggere e comprendere da sola ciò che ho scritto e, se non sei sicura di quel che hai compreso, puoi sempre fare una verifica diretta.

[faby99s]

"sara09":Buonasera a tutti.

Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue:

$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$

e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario.

Ho già verificato che:

[list=1][*:2ic2afv4] $(S,+)$ è gruppo abeliano

[/*:m:2ic2afv4]
[*:2ic2afv4] $(S,**)$ è un semigruppo

[/*:m:2ic2afv4]
[*:2ic2afv4] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a $+$;[/*:m:2ic2afv4][/list:o:2ic2afv4]

poi ho verificato che l'operazione $**$ non è commutativa.
Ora ho problemi con il provare che $(S,+,**)$ sia un anello unitario; in particolare, ho trovato che $**$ ha infiniti elementi neutri a sinistra ma non ne ha a destra.
Infatti, ho ragionato così:

[*:2ic2afv4] $(alpha, beta)$ è neutro a sinistra in $(S,*)$ se e solo se $(alpha, beta)*(c,d) = (c,d)$, ossia solo se $(alpha c, alpha d) =(c,d)$; ciò si verifica solo quando:

$\{ (alpha c = c), (alpha d = d):}$ per ogni $c,d in ZZ$,

cioè solo se $alpha =1$ (per Legge di Cancellazione); quindi ogni coppia del tipo $ (1,beta) $, con $beta in ZZ$, è un elemento neutro a sinistra per $**$;

[/*:m:2ic2afv4]
[*:2ic2afv4] $(alpha, beta)$ è neutro a destra in $(S,**)$ se e solo se $(a,b)*(alpha,beta) = (a,b)$, ossia se e solo se $(a alpha,a beta)=(a,b)$; ma ciò si verifica solo se:

$\{(a = a alpha), (b = a beta):}$ per ogni $a,b in ZZ$

e la seconda condizione non è realizzabile per nessun $beta$ indipendente da $a$ e $b$; quindi $**$ non ha nessun elemento neutro a destra.[/*:m:2ic2afv4][/list:u:2ic2afv4]

Dunque ho un anello non commutativo e non unitario.

Sapete dirmi come posso fare per trovarmi altri neutri a sinistra?

[xdom="gugo82"]Sistemate le formule e riscritto completamente il post, correggendo errori non solo matematici, ma anche grammaticali ed ortografici.

Gentile sara09, i post non vanno scritti copiando/incollando testi di thread chiusi, bensì con impegno, cura ed amore (non tanto per la Matematica, quanto per te stessa ed il modo di esprimere le tue idee e di descrivere il tuo lavoro).[/xdom]

[gugo82]

@ sara09: Scusa, ma che senso ha quest'ultimo post?

[faby99s]

"gugo82":@ sara09: Scusa, ma che senso ha quest'ultimo post?

Nulla ho sbagliato, volevo vedere una cosa è ho cliccato su qualcosa che non andava cliccato

[axpgn]

@sara
[ot]Consiglio: per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" non il tasto "CITA", come fai spesso tu a sproposito. Inoltre se si sbaglia, si può modificare il messaggio scritto ed anche cancellarlo se fatto prima che qualcuno risponda.
Infine, prima di inviare un messaggio, è buona cosa usare il tasto "ANTEPRIMA".
In definitiva: non c'è fretta [/ot]

Cordialmente, Alex