Elementi massimali e minimali

[Hey1234]

Ciao a tutti,

Sto avendo difficoltà con il seguente esercizio di algebra:

Dati $n, m in NN$, con $m != 0$, sull’insieme $NN \setminus \{0\}$ definiamo una relazione d'ordine non totale $rho$ ponendo
$n rho m$ se $EE b in NN \setminus \{0\}$ tale che $m=n^b$

è poi richiesto di determinare gli elementi massimali e minimali; da quello che pensavo di aver capito in questo caso un elemento $m in NN$ è massimale se $AA z in NN$ tale che $z rho m$ (cioè $m = z^b$ ) allora $z=m$.
Però in questo modo mi sembra che la condizione possa essere soddisfatta solo se $b=1$ quindi non ha nulla a che fare con $z$. Spero di essermi spiegata in modo sufficientemente chiaro. Dove sto sbagliando?

Grazie

[solaàl]

In parole povere, \(n\le m\) se $m$ è una qualche potenza positiva di $n$; allora il tuo insieme \(L=\mathbb N\setminus\{0\}\) è partizionato in catene della forma
\[
k \le k^2 \le k^3 \le\dots\le k^p\le\dots
\] Siccome ciascuna di queste catene è isomorfa a \(\omega\), hai che \(L\cong\coprod_{k\in\mathbb N} \omega\). Da questo è evidente che l'insieme dei minimali è fatto dall'insieme dei minimali di \(\omega\), cioè dall'insieme degli zeri a livello $k$ in \(L\); altrettanto evidente è che non ci sono massimali.