Elementi massimali e massimi in un reticolo

[sciamp]

Salve a tutti, ne approfitto per presentarmi chiedendo una delucidazione su un esercizio!

Devo mostrare che se $(A, \le)$ è un reticolo e $a in A$ un elemento massimale allora $a$ è massimo.

Penso sia una cosa semplice ma ho trovato delle difficoltà.

Ho iniziato così:
1) per definizione di reticolo si ha che comunque scelti due elementi $a,b in A$ esistono estremo inferiore ed estremo superiore dell'insieme ${a,b}$
2) per definizione di massimale si ha che per ogni $b in A$ vale $a \le b rArr a = b$

allora sia ${a, b} sube A$ e $s $ l'estremo superiore di tale sottoinsieme (che per ipotesi esiste). Ora se $s in A$ si ha che $s = a$ e quindi $a$ è massimo, non riesco a dire niente se $s !in A$.

Grazie in anticipo!
sciamp

[Studente Anonimo]

Benvenuto nel forum.

"sciamp":non riesco a dire niente se $s !in A$.

Ma questo non può accadere...

[sciamp]

Grazie mille dell'ottima osservazione!

non so perchè ma mi ero convinto che si potesse avere un sup (ma anche un inf) al di fuori dell'insieme $A$...in realtà questo non ha senso dal momento che si hanno sup e inf rispetto alla relazione d'ordine definita su $A$...era questo il senso giusto?

grazie ancora
sciamp

[Studente Anonimo]

Sì, per la definizione di reticolo devono esistere (nel reticolo) sup e inf di ogni coppia di elementi.