Elementi massimali
Buongiorno 
. Chiedo scusa, se si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w? E' corretto?
Inoltre è possibile che esistano DUE elementi massimali in questo insieme? Non dovrebbe esserci solo un elemento massimale? Sugli appunti c'è un'osservazione ad un argomento in cui si suppone che esistano due elementi massimali nell'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w.
Grazie mille in anticipo.
Saluti
. Chiedo scusa, se si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w? E' corretto?Inoltre è possibile che esistano DUE elementi massimali in questo insieme? Non dovrebbe esserci solo un elemento massimale? Sugli appunti c'è un'osservazione ad un argomento in cui si suppone che esistano due elementi massimali nell'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w.
Grazie mille in anticipo.
Saluti
Risposte
"gi88":CIa0,
...Inoltre è possibile che esistano DUE elementi massimali in questo insieme?...
prova con questo esempio.
Buongiorno . Quindi se ho afferrato bene, non esistono due elementi massimali?
E' corretto invece il ragionamento: "Si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w?" ?
Grazie mille per la cortese disponibilità e attenzione ^_^
.
Saluti
. Quindi se ho afferrato bene, non esistono due elementi massimali?E' corretto invece il ragionamento: "Si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w?" ?
Grazie mille per la cortese disponibilità e attenzione ^_^
.Saluti
"gi88":No: hai afferrato malissimo!
...Quindi se ho afferrato bene, non esistono due elementi massimali?...
In quell'esempio: tutti i punti della circonferenza\ bordo del disco chiuso sono massimali, rispetto alla relazione d'ordine "ovvia" ottenuta considerando la distanza dei punti del disco dal centro del disco stesso.
Chiedo umilmente scusa, rileggendo ora con attenzione l'esempio sono pienamente d'accordo con Lei .
Mi scusi, riguardo alla mia prima domanda: "Se si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w?", è corretto?
Grazie mille in anticipo per la cortese disponibilità.
.Mi scusi, riguardo alla mia prima domanda: "Se si suppone di avere un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine > = (maggiore o uguale) ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi y tali che y < = w (y minore o uguale di w), dire che x è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi maggiori di x tali che siano < = w?", è corretto?
Grazie mille in anticipo per la cortese disponibilità.
"gi88":Di cosa?
Chiedo umilmente scusa...
"gi88":Acchì?
...Lei...Mi scusi...
"gi88":Non è che sia molto chiara la domanda, anche dopo aver inserito il codice MathJax; pensando all'esempio che ti ho proposto, pensa a un diametro: i punti sul bordo sono entrambi massimali ma non sono confrontabili.
Se si suppone di avere un elemento massimale \(\displaystyle x\) rispetto alla relazione d'ordine \(\displaystyle\geq\)... ma quest'elemento appartiene ad esempio all'insieme di alcuni elementi \(\displaystyle y\) tali che \(\displaystyle y\leq w \)..., dire che \(\displaystyle x\) è elemento massimale vuol dire che non esistono elementi [\(\displaystyle z\), NdR] maggiori di \(\displaystyle x\) tali che siano \(\displaystyle z\leq w \)?
Non so se è questo il tuo cruccio...
Il mio "cruccio" è: Se abbiamo un elemento massimale x rispetto alla relazione d'ordine sopra indicata e si suppone che questo elemento appartenga all'insieme costituito dagli elementi y tali che y≤w, cosa si intende per la massimalità di x rispetto alla relazione d'ordine sopra indicata sapendo che però tale x appartiene ad un insieme in cui sussiste la relazione ≤?
Grazie mille in anticipo.
Grazie mille in anticipo.
La domanda è mal posta, ed è soggetta a diverse interpretazioni;
dato che sono libero, propongo delle possibili risposte.
Sia \(\displaystyle(S,\le)\) un insieme ordinato: si tratta di una relazione di ordine totale, di buon ordine, o nessuna delle due?
Nel primo caso, non ha senso parlare di elementi massimali!, infatti, se esiste un elemento massimale \(\displaystyle x\in S\) allora:
\[
\forall y\in S\setminus\{x\},\,y
Nei restanti due casi, siano \(\displaystyle x,w\in S\) elementi di cui \(\displaystyle x\) sia massimale; ciò significa che dato un elemento \(\displaystyle z\) confrontabile[nota]Ricordati dell'esempio del cerchio di cui ho scritto sopra: i punti sulla circonferenza non sono confrontabili rispetto alla relazione d'ordine considerata.[/nota] con \(\displaystyle x\) allora \(\displaystyle z\le x\).
Ora tu consideri l'insieme:
\[
\{y\in S\mid y\le w\}=]-\infty,w];
\]
dato che supponi \(\displaystyle x\in]-\infty,w]\) allora per definizione \(\displaystyle x\leq w\), ma \(\displaystyle x\) è massimale in \(\displaystyle S\) e confrontabile con \(\displaystyle w\) e perciò \(\displaystyle x=w\).
Un'altra possibilità, sarebbe quella di considerare un sottoinsieme non vuoto \(\displaystyle T\) di \(\displaystyle]-\infty,w]\) e supporre che \(\displaystyle x\in T\); ma comunque si concluderebbe che \(\displaystyle x=w\).
Tutto chiaro?
dato che sono libero, propongo delle possibili risposte.
Sia \(\displaystyle(S,\le)\) un insieme ordinato: si tratta di una relazione di ordine totale, di buon ordine, o nessuna delle due?
Nel primo caso, non ha senso parlare di elementi massimali!, infatti, se esiste un elemento massimale \(\displaystyle x\in S\) allora:
\[
\forall y\in S\setminus\{x\},\,y
Nei restanti due casi, siano \(\displaystyle x,w\in S\) elementi di cui \(\displaystyle x\) sia massimale; ciò significa che dato un elemento \(\displaystyle z\) confrontabile[nota]Ricordati dell'esempio del cerchio di cui ho scritto sopra: i punti sulla circonferenza non sono confrontabili rispetto alla relazione d'ordine considerata.[/nota] con \(\displaystyle x\) allora \(\displaystyle z\le x\).
Ora tu consideri l'insieme:
\[
\{y\in S\mid y\le w\}=]-\infty,w];
\]
dato che supponi \(\displaystyle x\in]-\infty,w]\) allora per definizione \(\displaystyle x\leq w\), ma \(\displaystyle x\) è massimale in \(\displaystyle S\) e confrontabile con \(\displaystyle w\) e perciò \(\displaystyle x=w\).
Un'altra possibilità, sarebbe quella di considerare un sottoinsieme non vuoto \(\displaystyle T\) di \(\displaystyle]-\infty,w]\) e supporre che \(\displaystyle x\in T\); ma comunque si concluderebbe che \(\displaystyle x=w\).
Tutto chiaro?
Grazie mille . Però sugli appunti non c'è un'ipotesi che possa ricondurmi ad una situazione del tipo "Siano x e w elementi di S di cui x sia elemento massimale". Ma c'è scritto di considerare un elemento massimale x rispetto alla relazione >= e si suppone che tale x appartenga ad un insieme costituito dagli elementi y tali che y≤w.. Non so come "pensare questo concetto".
Grazie mille per la gentilissima disponibilità.
. Però sugli appunti non c'è un'ipotesi che possa ricondurmi ad una situazione del tipo "Siano x e w elementi di S di cui x sia elemento massimale". Ma c'è scritto di considerare un elemento massimale x rispetto alla relazione >= e si suppone che tale x appartenga ad un insieme costituito dagli elementi y tali che y≤w.. Non so come "pensare questo concetto". Grazie mille per la gentilissima disponibilità.
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