Elementi invertibili e divisori dello 0 (polinomi)
Salve,
ho un paio di domande sul fatto di trovare elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello di polinomi.
Elementi invertibili
Dato $(\mathbb{Z}_7[X])/(f(x))$ con $f(x)=2x^4-4$ trovare un elemento invertibile e quindi l'inverso di tale elemento.
Più o meno ho capito come si trova l'inverso di un elemento dato, ma qui devo anche trovare un elemento che sia invertibile.
Un elemento $g(x)$ è invertibile se $MCD(g(x), f(x))=1$, confermate che questo valga anche nei polinomi? Se si, devo controllare ogni elemento fino a quando ne trovo uno che soddisfa quella condizione e quindi trovare il suo inverso, oppure esiste un metodo più veloce, evitando così di controllare l'MCD di tanti polinomi inutilmente?
Divisori dello zero
(2.1) So che negli anelli del tipo $\mathbb{Z}_n$ (quindi non dei polinomi), se un elemento non è invertibile, è divisore dello zero. Ma questo non vale in generale. Volevo sapere se negli anelli dei polinomi è ancora valido.
In ogni caso, non avendo trovato niente sul libro, mettendo insieme i teoremi che so, ho pensato di fare così:
Dato $(\mathbb{Z}_5[X])/I$ con $I=(f(x))=x^3+2$, trovare un divisore dello zero.
ho un paio di domande sul fatto di trovare elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello di polinomi.
Elementi invertibili
Dato $(\mathbb{Z}_7[X])/(f(x))$ con $f(x)=2x^4-4$ trovare un elemento invertibile e quindi l'inverso di tale elemento.
Più o meno ho capito come si trova l'inverso di un elemento dato, ma qui devo anche trovare un elemento che sia invertibile.
Un elemento $g(x)$ è invertibile se $MCD(g(x), f(x))=1$, confermate che questo valga anche nei polinomi? Se si, devo controllare ogni elemento fino a quando ne trovo uno che soddisfa quella condizione e quindi trovare il suo inverso, oppure esiste un metodo più veloce, evitando così di controllare l'MCD di tanti polinomi inutilmente?
Divisori dello zero
(2.1) So che negli anelli del tipo $\mathbb{Z}_n$ (quindi non dei polinomi), se un elemento non è invertibile, è divisore dello zero. Ma questo non vale in generale. Volevo sapere se negli anelli dei polinomi è ancora valido.
In ogni caso, non avendo trovato niente sul libro, mettendo insieme i teoremi che so, ho pensato di fare così:
Dato $(\mathbb{Z}_5[X])/I$ con $I=(f(x))=x^3+2$, trovare un divisore dello zero.
[*:gcnpv5e4]Trovo una radice di $f(x)$, ad esempio $f(2)=10=0$, quindi $2$ è radice.[/*:gcnpv5e4]
[*:gcnpv5e4]Per il teorema di Ruffini (se $c$ è una radice, allora $x-c$ divide $f(x)$), noto che $x-2$ divide $f(x)$ e di conseguenza $(I+x-2)$ non è invertibile. (Se la risposta alla domanda (2.1) è si, potrei fermarmi qui).[/*:gcnpv5e4]
[*:gcnpv5e4]Poi noto che $(I+x-2)(I+x^2+2x+4)=(I+x^3+2)=(I+0)$, dove $x^2+2x+4$ è il quoziente della divisione di prima ($f(x)$ diviso $(x-2)$). Quindi per l'uguaglianza scritta sopra posso dire che $(I+x-2)$ è un divisore dello zero.[/*:gcnpv5e4]
[/list:u:gcnpv5e4]
E' giusto il procedimento?
Grazie in anticipo.
Saluti
Risposte
Prima parte:
In generale, ricorda sempre se hai degli invertibili in un dominio di un morfismo di anelli, le loro immagini sono ancora invertibili. In particolare se prendi gli invertibili di $\ZZ_7[x]$ (che sono tutti e soli gli scalari non nulli), questi sono ancora invertibili in ${\ZZ[x]}/{(f)}$ (e gli inversi sono le immagini degli inversi). Un po' più complicato è trovare elementi invertibili che vengono da elementi di grado alto ma non difficile.
Seconda parte:
Questa parte è svolta bene. In generale in un anello di polinomi non è vero che gli elementi non invertibili sono divisori di zero. Ad esempio in $\ZZ_n[x]$, il polinomio $x$ non è invertibile né divisore di zero.
Azzarderei quanto segue:
Non invertibili sono divisori di zero se l'anello è finito (così a occhio potrebbe essere vero, ma non ho scritto nulla, quindi potrei aver preso una cantonata..la dimostrazione che ho in mente, se funziona, è facile). [Edit: La dimostrazione che avevo in mente non funziona. Ma forse e' vero lo stesso.]
Certamente non vale il viceversa. E' facile costruire un anello infinito in cui i non invertibili sono tutti e soli i divisori di zero. (Hint: prendiamo un campo infinito...anzi due)
Esiste una caratterizzazione? (non ne ho idea, e credo che sia una domanda difficile)
In generale, ricorda sempre se hai degli invertibili in un dominio di un morfismo di anelli, le loro immagini sono ancora invertibili. In particolare se prendi gli invertibili di $\ZZ_7[x]$ (che sono tutti e soli gli scalari non nulli), questi sono ancora invertibili in ${\ZZ[x]}/{(f)}$ (e gli inversi sono le immagini degli inversi). Un po' più complicato è trovare elementi invertibili che vengono da elementi di grado alto ma non difficile.
Seconda parte:
Questa parte è svolta bene. In generale in un anello di polinomi non è vero che gli elementi non invertibili sono divisori di zero. Ad esempio in $\ZZ_n[x]$, il polinomio $x$ non è invertibile né divisore di zero.
Azzarderei quanto segue:
Non invertibili sono divisori di zero se l'anello è finito (così a occhio potrebbe essere vero, ma non ho scritto nulla, quindi potrei aver preso una cantonata..la dimostrazione che ho in mente, se funziona, è facile). [Edit: La dimostrazione che avevo in mente non funziona. Ma forse e' vero lo stesso.]
Certamente non vale il viceversa. E' facile costruire un anello infinito in cui i non invertibili sono tutti e soli i divisori di zero. (Hint: prendiamo un campo infinito...anzi due)
Esiste una caratterizzazione? (non ne ho idea, e credo che sia una domanda difficile)
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