Elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello
Salve,
sto svolgendo qualche esercizio in cui mi viene chiesto, dato un anello, di elencare gli elementi invertibili e i divisori dello 0.
Di solito svolgo questi esercizi applicando i teoremi opportuni (ad esempio, per trovare i divisori dello zero applico semplicemente la definizione di divisore dello zero).
Ma mi sono accorto che fare tutti i passi su un anello con molti elementi richiede troppo tempo, ed il tempo all'esame è limitato!
Quindi, mettendo insieme vari teoremi sono giunto ad un metodo abbastanza efficace, ma per ritenerlo funzionante mi manca una piccola parte che non ho trovato in internet.
Ecco come svolgo un esercizio.
Prendiamo \(\displaystyle Z36 \) con la solita richiesta.
1) Cerco \(\displaystyle \phi(36) \), che è \(\displaystyle 12 \). Ora so che ci sono 12 elementi invertibili.
2) Quindi inizio a cercarli e mi fermo quando ne trovo 12. Il metodo più veloce che conosco per trovarli è controllare \(\displaystyle \forall a \neq 0 \), che \(\displaystyle MCD(a,n)=1 \).
3) So che se un elemento è invertibile, allora non è divisore dello 0, quindi scarto tutti gli elementi trovati finora più lo zero (nell'esempio ne rimangono 36-13=23).
4) Ecco il punto critico, e quindi la domanda: gli elementi che rimangono sono per esclusione tutti divisori dello 0?
Se la risposta fosse no, esiste un metodo abbastanza veloce (che non sia applicare la definizione di divisore dello zero) per controllare gli elementi che mi sono rimasti?
Ringrazio anticipatamente.
Saluti
sto svolgendo qualche esercizio in cui mi viene chiesto, dato un anello, di elencare gli elementi invertibili e i divisori dello 0.
Di solito svolgo questi esercizi applicando i teoremi opportuni (ad esempio, per trovare i divisori dello zero applico semplicemente la definizione di divisore dello zero).
Ma mi sono accorto che fare tutti i passi su un anello con molti elementi richiede troppo tempo, ed il tempo all'esame è limitato!
Quindi, mettendo insieme vari teoremi sono giunto ad un metodo abbastanza efficace, ma per ritenerlo funzionante mi manca una piccola parte che non ho trovato in internet.
Ecco come svolgo un esercizio.
Prendiamo \(\displaystyle Z36 \) con la solita richiesta.
1) Cerco \(\displaystyle \phi(36) \), che è \(\displaystyle 12 \). Ora so che ci sono 12 elementi invertibili.
2) Quindi inizio a cercarli e mi fermo quando ne trovo 12. Il metodo più veloce che conosco per trovarli è controllare \(\displaystyle \forall a \neq 0 \), che \(\displaystyle MCD(a,n)=1 \).
3) So che se un elemento è invertibile, allora non è divisore dello 0, quindi scarto tutti gli elementi trovati finora più lo zero (nell'esempio ne rimangono 36-13=23).
4) Ecco il punto critico, e quindi la domanda: gli elementi che rimangono sono per esclusione tutti divisori dello 0?
Se la risposta fosse no, esiste un metodo abbastanza veloce (che non sia applicare la definizione di divisore dello zero) per controllare gli elementi che mi sono rimasti?
Ringrazio anticipatamente.
Saluti
Risposte
Negli anelli della forma $\ZZ_n$ un elemento non invertibile e non zero è sempre un divisore di zero. Infatti se $a$ non è coprimo con $n$ ci sono due possibilità:
O $n$ divide $a$ oppure $a$ ha qualche fattore di $n$ (ma non tutti). Nel primo caso $a$ è $0$ modulo $n$. Nel secondo prendi $b = n/p$, dove $p$ è un fattore primo che divide sia $n$ che $a$. Allora $b$ non è zero modulo $n$ ma $ab$ è un multiplo di $n$ quindi è $0$.
In anelli qualsiasi tuttavia non è vero che gli elementi sono sempre invertibili oppure divisori di zero. In $\ZZ$ hai solo due invertibili e nessun divisore di $0$. In $\ZZ_n[x]$ hai pochi invertibili, infiniti divisori di $0$ e infiniti elementi che non sono né invertibili né divisori di $0$.
O $n$ divide $a$ oppure $a$ ha qualche fattore di $n$ (ma non tutti). Nel primo caso $a$ è $0$ modulo $n$. Nel secondo prendi $b = n/p$, dove $p$ è un fattore primo che divide sia $n$ che $a$. Allora $b$ non è zero modulo $n$ ma $ab$ è un multiplo di $n$ quindi è $0$.
In anelli qualsiasi tuttavia non è vero che gli elementi sono sempre invertibili oppure divisori di zero. In $\ZZ$ hai solo due invertibili e nessun divisore di $0$. In $\ZZ_n[x]$ hai pochi invertibili, infiniti divisori di $0$ e infiniti elementi che non sono né invertibili né divisori di $0$.
Ti ringrazio per la risposta molto chiara.
Saluti
Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo