Elementi invertibili di $A = (Q[x])/((x^2-1))$
Come posso trovarli?
So che gli elementi di $A$ sono del tipo $a + bx+ (x^2-1)$, quindi porrei $(a + bx+ (x^2-1))((c + dx+ (x^2-1))= 1+ (x^2-1)$, cioè $(a + bx)(c + dx)= 1+ (x^2-1)$
(è corretto questo passaggio? cioè, posso trascurare il $+(x^2-1)$ al primo membro? scusate, ma devo ancora prendere confidenza con questi oggetti).
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x)(x^2-1)$
$h(x)$ deve avere grado 0, altrimenti al secondo membro comparirebbe un termine di terzo grado.
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x^2-1) = 1+ hx^2-h$
... da cui un sistema che non riesco a risolvere...
Comunque da qualche parte avevo visto un esercizio di questo tipo risolto diversamente, in modo più bello, ma non lo trovo più
E' un esercizio tipo, ma non so perché in rete non ne trovo uno svolto.
grazie per l'aiuto!
[edit]: ho trovato un esercizio di questo tipo su stackexchange
Dato l'anello quoziente $R=\mathbb({Q}[x])/((x^2-7))$, dire se $x+2$ è invertibile".
A parte il fatto che in questo caso è un campo, mi interessa il calcolo che ha fatto nell'ultimo post:
Non ho capito: perché $x^2=7$?
So che gli elementi di $A$ sono del tipo $a + bx+ (x^2-1)$, quindi porrei $(a + bx+ (x^2-1))((c + dx+ (x^2-1))= 1+ (x^2-1)$, cioè $(a + bx)(c + dx)= 1+ (x^2-1)$
(è corretto questo passaggio? cioè, posso trascurare il $+(x^2-1)$ al primo membro? scusate, ma devo ancora prendere confidenza con questi oggetti).
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x)(x^2-1)$
$h(x)$ deve avere grado 0, altrimenti al secondo membro comparirebbe un termine di terzo grado.
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x^2-1) = 1+ hx^2-h$
... da cui un sistema che non riesco a risolvere...
Comunque da qualche parte avevo visto un esercizio di questo tipo risolto diversamente, in modo più bello, ma non lo trovo più
E' un esercizio tipo, ma non so perché in rete non ne trovo uno svolto.
grazie per l'aiuto!
[edit]: ho trovato un esercizio di questo tipo su stackexchange
Dato l'anello quoziente $R=\mathbb({Q}[x])/((x^2-7))$, dire se $x+2$ è invertibile".
A parte il fatto che in questo caso è un campo, mi interessa il calcolo che ha fatto nell'ultimo post:
Dati $a,b∈Q$,
$(ax+b)(x+2)=1$
$ax^2+2ax+bx+2b=1$
Ora uso il fatto che $x^2=7$
eccetera
Non ho capito: perché $x^2=7$?
Risposte
Ciao 
Allora, forse non ti è cosa succede quando quozienti. Moralmente quando quozienti un anello $A$ per un ideale $I$ semplicemente poni $I = 0$, cioè l'ideale per cui quozienti diventa l'elemento neutro del quoziente rispetto alla somma. Pensa alle congruenze, per esempio $\mathbb{Z_7}$ e prendiamo $4 + 3 = 7$ modulo $7$, cosa possiamo dire su $4 + 3$? Beh dato che $7 = 4 + 3 = 0 mod 7$ allora ne cavo che $4 = -3 mod 7$. Questo è un esempio stupidissimo, ma forse può aiutarti a capire.
Quindi, analizzando l'ultimo post: dato che in $\mathbb{Q}[x]//(x^2 - 7)$ l'elemento neutro è $(x^2 - 7)$, allora in particolare $x^2 - 7 = 0 + (x^2 - 7)$, da cui i deduce(visto che siamo in un anello e quindi in particolare in un gruppo additivo) che $x^2 = 7 + (x^2 - 7)$. Se ci fai caso è tutto o quasi analogo alle congruenze.
Passiamo agli invertibili.
Gli invertibili in $\mathbb{Q}[x]//(p(x))$ sono tutti e soli i polinomi $q(x)$ coprimi con $p(x)$, questo perché $\mathbb{Q[x]}$ è euclideo e quindi vale il lemma di bezout. Mi spiego: $(p(x), q(x)) = 1$, quindi per bezout esistono $\lambda, \mu \in \mathbb{Q}[x]$ tali che $p(x)*\lambda + q(x)*\mu = 1$, ma questa uguaglianza nel quoziente $\mathbb{Q}[x]//(p(x))$ cosa diventa? Beh dato che $p(x)*\lambda \in (p(x))$ allora $p(x)*\lambda + q(x)*\mu = 1 \iff q(x)*\mu = 1$ nel quoziente, quindi $q(x)$ è invertibile. Il viceversa è ancora più facile.
Bada bene che questa roba di bezout funziona solo se l'anello che quozienti è euclideo o, ancor meglio, un PID(perché vale bezout!), se avessi avuto $\mathbb{Z}[x]$ sarebbe stato diverso.
EDIT: mi sono dimenticato di rispondere a questa domanda:
Infine:
Tutto corretto fin quando non ti complichi tremendamente la vita considerando $hx^2 - h$, dato che puoi "trascurare"(perché è l'elemento neutro, o meglio, rappresentante della classe $(x^2 - 1)$) qualsiasi cosa abbia come fattore $x^2 - 1$(in quanto appartiene all'ideale (x^2 - 1), elemento neutro del quoziente rispetto alla somma) allora semplicemente $(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x)(x^2-1) \iff (a + bx)(c + dx)= 1$
Allora, forse non ti è cosa succede quando quozienti. Moralmente quando quozienti un anello $A$ per un ideale $I$ semplicemente poni $I = 0$, cioè l'ideale per cui quozienti diventa l'elemento neutro del quoziente rispetto alla somma. Pensa alle congruenze, per esempio $\mathbb{Z_7}$ e prendiamo $4 + 3 = 7$ modulo $7$, cosa possiamo dire su $4 + 3$? Beh dato che $7 = 4 + 3 = 0 mod 7$ allora ne cavo che $4 = -3 mod 7$. Questo è un esempio stupidissimo, ma forse può aiutarti a capire.
Quindi, analizzando l'ultimo post: dato che in $\mathbb{Q}[x]//(x^2 - 7)$ l'elemento neutro è $(x^2 - 7)$, allora in particolare $x^2 - 7 = 0 + (x^2 - 7)$, da cui i deduce(visto che siamo in un anello e quindi in particolare in un gruppo additivo) che $x^2 = 7 + (x^2 - 7)$. Se ci fai caso è tutto o quasi analogo alle congruenze.
Passiamo agli invertibili.
Gli invertibili in $\mathbb{Q}[x]//(p(x))$ sono tutti e soli i polinomi $q(x)$ coprimi con $p(x)$, questo perché $\mathbb{Q[x]}$ è euclideo e quindi vale il lemma di bezout. Mi spiego: $(p(x), q(x)) = 1$, quindi per bezout esistono $\lambda, \mu \in \mathbb{Q}[x]$ tali che $p(x)*\lambda + q(x)*\mu = 1$, ma questa uguaglianza nel quoziente $\mathbb{Q}[x]//(p(x))$ cosa diventa? Beh dato che $p(x)*\lambda \in (p(x))$ allora $p(x)*\lambda + q(x)*\mu = 1 \iff q(x)*\mu = 1$ nel quoziente, quindi $q(x)$ è invertibile. Il viceversa è ancora più facile.
Bada bene che questa roba di bezout funziona solo se l'anello che quozienti è euclideo o, ancor meglio, un PID(perché vale bezout!), se avessi avuto $\mathbb{Z}[x]$ sarebbe stato diverso.
EDIT: mi sono dimenticato di rispondere a questa domanda:
Infine:
"jitter":
Come posso trovarli?
So che gli elementi di $A$ sono del tipo $a + bx+ (x^2-1)$, quindi porrei $(a + bx+ (x^2-1))((c + dx+ (x^2-1))= 1+ (x^2-1)$, cioè $(a + bx)(c + dx)= 1+ (x^2-1)$
(è corretto questo passaggio? cioè, posso trascurare il $+(x^2-1)$ al primo membro? scusate, ma devo ancora prendere confidenza con questi oggetti).
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x)(x^2-1)$
$h(x)$ deve avere grado 0, altrimenti al secondo membro comparirebbe un termine di terzo grado.
$(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x^2-1) = 1+ hx^2-h$
Tutto corretto fin quando non ti complichi tremendamente la vita considerando $hx^2 - h$, dato che puoi "trascurare"(perché è l'elemento neutro, o meglio, rappresentante della classe $(x^2 - 1)$) qualsiasi cosa abbia come fattore $x^2 - 1$(in quanto appartiene all'ideale (x^2 - 1), elemento neutro del quoziente rispetto alla somma) allora semplicemente $(a + bx)(c + dx)= 1+ h(x)(x^2-1) \iff (a + bx)(c + dx)= 1$
Shocker la tua spiegazione è superchiara, ti ringrazio un sacco, non avrei mai pensato a bézout 
Un'ultima domanda:
Il concetto in sé del quoziente mi era chiaro, anzi quasi chiaro a questo punto: pensavo di poter scrivere $x^2-7 = bar(0)$
(chiamando con $bar(0)$ la classe dello zero) ma non $x^2-7 = 0$. Allo stesso modo, in $Z_6$ scriverei $ 12-=0 $ e non $12=0$. Ma forse mi sbagliavo: come la congruenza diventa uguaglianza nell'insieme quoziente individuato dalla relazione congruenza, così la relazione che individua l'anello quoziente diventa uguaglianza in $A[x]/(p(x))$. Perché l'uguaglianza è una relazione che acquisisce il suo significato "formale" nella struttura in cui si trova e quindi non significa sempre "identico".
E' corretto? (spero di essermi spiegata)
Un'ultima domanda:
"Shocker":
Ciao
in $ \mathbb{Q}[x]//(x^2 - 7) $ l'elemento neutro è $ (x^2 - 7) $, allora in particolare $ x^2 - 7 = 0 + (x^2 - 7) $, da cui i deduce(visto che siamo in un anello e quindi in particolare in un gruppo additivo) che $ x^2 = 7 + (x^2 - 7) $. Se ci fai caso è tutto o quasi analogo alle congruenze.
Il concetto in sé del quoziente mi era chiaro, anzi quasi chiaro a questo punto: pensavo di poter scrivere $x^2-7 = bar(0)$
(chiamando con $bar(0)$ la classe dello zero) ma non $x^2-7 = 0$. Allo stesso modo, in $Z_6$ scriverei $ 12-=0 $ e non $12=0$. Ma forse mi sbagliavo: come la congruenza diventa uguaglianza nell'insieme quoziente individuato dalla relazione congruenza, così la relazione che individua l'anello quoziente diventa uguaglianza in $A[x]/(p(x))$. Perché l'uguaglianza è una relazione che acquisisce il suo significato "formale" nella struttura in cui si trova e quindi non significa sempre "identico".
E' corretto? (spero di essermi spiegata)
"jitter":
Shocker la tua spiegazione è superchiara, ti ringrazio un sacco, non avrei mai pensato a bézout
Un'ultima domanda:
[quote="Shocker"]Ciao
in $ \mathbb{Q}[x]//(x^2 - 7) $ l'elemento neutro è $ (x^2 - 7) $, allora in particolare $ x^2 - 7 = 0 + (x^2 - 7) $, da cui i deduce(visto che siamo in un anello e quindi in particolare in un gruppo additivo) che $ x^2 = 7 + (x^2 - 7) $. Se ci fai caso è tutto o quasi analogo alle congruenze.
Il concetto in sé del quoziente mi era chiaro, anzi quasi chiaro a questo punto: pensavo di poter scrivere $x^2-7 = bar(0)$
(chiamando con $bar(0)$ la classe dello zero) ma non $x^2-7 = 0$. Allo stesso modo, in $Z_6$ scriverei $ 12-=0 $ e non $12=0$. Ma forse mi sbagliavo: come la congruenza diventa uguaglianza nell'insieme quoziente individuato dalla relazione congruenza, così la relazione che individua l'anello quoziente diventa uguaglianza in $A[x]/(p(x))$. Perché l'uguaglianza è una relazione che acquisisce il suo significato "formale" nella struttura in cui si trova e quindi non significa sempre "identico".
E' corretto? (spero di essermi spiegata)[/quote]
Ciao
My bad, questioni notazionali. Quando ho scritto $x^2 - 7 = 0 + (x^2 - 7)$ intendevo $bar(x^2 - 7) = bar(0)$, idem per qualsiasi altra uguaglianza nel quoziente, scusa. Il discorso funziona perché siamo un una struttura in cui tutto è ben definito e quindi posso scegliere come rappresentante di classe quello che mi pare.
Perché l'uguaglianza è una relazione che acquisisce il suo significato "formale" nella struttura in cui si trova e quindi non significa sempre "identico".
E' corretto? (spero di essermi spiegata)
Sì mi torna, ti posto anche un esempio concreto: consideriamo il quoziente $\mathbb{Z_6}$ e gli elementi $2 + 6\mathbb{Z}$ e $4 + 6\mathbb{Z}$, per definizione di moltiplicazione nell'anello quoziente ho che $(2 + 6\mathbb{Z})(4 + 6\mathbb{Z}) = 8 + 6\mathbb{Z}$. Quest'uguaglianza vale nel quoziente $\mathbb{Z_6}$, ma non in $\mathbb{Z}$ se vedi i laterali come suoi sottoinsiemi: $(2 + 6\mathbb{Z})(4 + 6\mathbb{Z}) = { (2 + i)(4 + j) | i, j \in 6\mathbb{Z}} \subset 8 + 6\mathbb{Z}$. E l'inclusione è stretta, infatti $14 \in 8 + 6\mathbb{Z}$ ma non appartiene a $(2 + 6\mathbb{Z})(4 + 6\mathbb{Z})$.
Spero di aver capito il tuo dubbio e di non averti confuso le idee.
"Shocker":
Spero di aver capito il tuo dubbio e di non averti confuso le idee.
sì sì, hai chiarito il mio dubbio, anzi complimenti per la chiarezza espositiva.
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