Elementi Invertibili

[Amartya]

Salve ho qusto quesito.

Sia $A$ un anello commutativo unitario ed $S = {s:N -> A}$ l'anello delle successioni di elementi di $A$

Provare che $s in S$ è invertibile se e solo se $s(0)$ è invertibile in $A$.


Non riesco proprio ad impostare la soluzione.


Qual'è l'elemento neutro dell'anello delle successioni? E' sempre $1$

[Amartya]

Ragionandoci su pensavo questo.

Affinchè $s$ sia invertibile in $S$ necessariamente i termini noti devono essere invertibili. Ora poichè la successione è da $N$ a $A$, in $A$ deve essere presente un elemento che è l'inverso del primo termine della successione. E quindi $s(0)$ è invrtibile in $A$, poichè infatti se sarà invertibile $s(0)$ allora sarà invertibile anche $s(n)$.

[Amartya]

Rispetto a quanto da me detto sopra vorrei fornire un esempio.

Sia $s(n) = 2n+3$ da $N->A$

allora questa successione è invertibile in $S$ se esiste in $S$ una successione che chiameremo $s' | s'(s(n)) = n $

Nel caso l'inversa di quella successione è $n =(s(n)-3)/2$ questa successione esiste in $S$ se e solo se $1/2$ esiste in $A$, ma ciò equivale a dire che $s(0)$ è invertibile in $A$, infatti $s(0) = 2$ ed il suo inverso è appunto $1/2$ che deve esistere in $A$

Spero di non aver detto troppe sciocchezze

[Amartya]

L'esercizio mi chiede inoltre dopo aver verificato che $I ={s in S | s(0)=0}$ è un ideale di $S$, che se $A$ è un campo $I$ è un ideale massimale in $S$.

Ho così argomentato.

Se $A$ è un campo allora tutte le successioni $s | s(0) = k$ sono invertibili in $S$, non invertibili rimangono solo quelle $s(0) =0$, quindi $I$ è un anello massimale in $S$