Elementi di un sottogruppo: Teorema di Lagrange

[AM91]

Buongiorno a tutti ragazzi,
a breve avrò l'esame di matematica discreta e ho notevoli difficoltà a capire questo argomento.
Nello specifico, ho capito la definizione di sottogruppo e i criteri per determinare se un sottoinsieme sia definibile tale, ma sono bloccato alla definizione di laterale sinistro/destro di un sottogruppo, nozioni che nel corso delle dispense diventano fondamentali per capire il teorema di Lagrange.

Premetto che prima di aprire questa discussione ho già visitato altri topics sull'argomento, ma non sono mai riuscito ad applicare le nozioni a quelle scritte sui miei appunti.

Avrei bisogno di chiarimenti in particolare sulla seconda dimostrazione del file allegato, magari con qualche esempio che chiarisca meglio la teoria.

Posto una foto per farvi capire nello specifico quello che intendo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[luca691]

Ciao,

ti giro alcune considerazioni che avevo scritto "per chiarirmi" l'argomento, sperando che già così come sono possano esserti utili.
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Dato un gruppo $G$ e un sottogruppo $H<=G$, si possono definire le due relazioni $mod_RH$ e $mod_LH$ tra gli elementi di $G$ mediante:

$a-=_Rb iff ab^(-1)inH$ e $a-=_Lb iff b^(-1)ainH$, rispettivamente. Mostriamo che si tratta di due relazioni di equivalenza:

$mod_RH$:
R_i) $e=aa^(-1)inH => a-=_Ra$ (riflessiva)
R_ii) $a-=_Rb iff ab^(-1)inH iff (ab^(-1))^(-1)=ba^(-1)inH iff b-=_Ra$ (simmetrica)
R_iii) $a-=_Rb ^^ b-=_Rc iff ab^(-1),bc^(-1)inH => (ab^(-1))(bc^(-1))=a(b^(-1)b)c^(-1)=ac^(-1)inH iff a-=_Rc$ (transitiva)

$mod_LH$:
L_i) $e=a^(-1)ainH => a-=_La$ (riflessiva)
L_ii) $a-=_Lb iff a^(-1)binH iff (a^(-1)b)^(-1)=b^(-1)ainH iff b-=_La$ (simmetrica)
L_iii) $a-=_Lb ^^ b-=_Lc iff a^(-1)b,b^(-1)cinH => (a^(-1)b)(b^(-1)c)=a^(-1)(\b\b^(-1))c=a^(-1)cinH iff a-=_Lc$ (transitiva)

Vediamo come sono fatte le classi di equivalenza indotte dalle relazioni $mod_RH$ e $mod_LH$. $AAainG$ si ha:

$[a]_R={ginG|g-=_Ra}={ginG|ga^(-1)inH}={ginG|ga^(-1)=h,hinH}={ginG|g=ha,hinH}=Ha$
(classe laterale destra di $H$ in $G$ "rispetto ad $a$")

$[a]_L={ginG|g-=_La}={ginG|a^(-1)ginH}={ginG|a^(-1)g=h,hinH}={ginG|g=ah,hinH}=aH$
(classe laterale sinistra di $H$ in $G$ "rispetto a $a$")

In generale, $mod_RH$ e $mod_LH$ inducono due diverse partizioni di $G$. Proviamo a definire una legge di composizione binaria tra le classi laterali -ad es. destre- di $H$ in $G$ mediante la legge di composizione binaria che vige in $G$, nel modo seguente:

$([a]_R",_R)|->[a]_R*_R:=[ab]_R={hab,hinH}$

Essendo un'operazione tra classi definita operativamente mediante rappresentanti di esse, il risultato deve essere indipendente dalla scelta di questi ultimi. Quindi, $AAa'in[a]_R,b'in_R$ vogliamo che risulti:

$[a'b']_R={h'a'b',h'inH'}=[ab]_R$

Ora,

$ [a'b']_Rsube[ab]_R iff AAh'inH,EEhinH|h'a'b'=hab iff $ (per l'arbitrarietà di $a'in[a]_R$ e $b'in_R$) $AAh',\hath,\barhinH,EEhinH|h'\hatha\barhb=hab iff AA\tildeh,\barhinH,EEhinH|\tildeha\barhb=hab iff AA\tildeh,\barhinH,EEhinH|h=\tildeha\barha^(-1) iff AA\tildeh,\barhinH,EEhinH|\tildeh^(-1)h=a\barha^(-1) iff AA\barhinH,EE\barbarhinH|\barbarh=a\barha^(-1)iffaHa^(-1)subeH$

Ma anche

$[ab]_Rsube[a'b']_RiffAAhinH,EEh'inH|hab=h'a'b'iff$(per l'arbitrarietà di $a'in[a]_R$ e $b'in_R$)$AAh,\hath,\barhinH,EEh'inH|hab=h'\hatha\barhbiffAAh,\barhinH,EE\tildehinH|hab=\tildeha\barhbiffAAh,\barhinH,EE\tildehinH|h=\tildeha\barha^(-1)iffAAh,\barhinH,EE\tildehinH|\tildeh^(-1)h=a\barha^(-1)iffAA\barhinH,EE\barbarhinH|\barbarh=a\barha^(-1)iffaHa^(-1)subeH$

per cui

$[a'b']_R=[ab]_RiffaHa^(-1)subeH$

Quindi, l'operazione tra classi laterali destre è ben definita se e solo se queste sono formate come $mod_R$ di un sottogruppo $H$ tale che

$aHa^(-1)subeH, AAainG$

OSSERVAZIONE. $AAainG$ si ha: $aHa^-1subeHsubea^-1Ha$; infatti:

$aHa^-1subeH<=>AAhinH,EE\barhinH|aha^-1=\barh<=>AAhinH,EE\barhinH|h=a^-1\barha<=>Hsubea^-1Ha$.

Ma:

$aHa^-1subeHsubea^-1Ha,AAainG<=>a^-1HasubeHsubeaHa^-1,AAainG<=>aHa^-1=H=a^-1Ha,AAainG<=>aH=Ha,AAainG$
#

Ha senso quindi dare ad un sottogruppo $H<=G$ che soddisfi tale proprietà un nome speciale: sottogruppo normale. Quindi, i sottogruppi normali sono innanzitutto tutti e soli i sottogruppi che "quozientano" il gruppo in modo tale che la legge di composizione tra classi risulti ben definita.

[algibro]

"AM9":Avrei bisogno di chiarimenti in particolare sulla seconda dimostrazione del file allegato...

Immagino possa esserti utile convincerti che ogni classe laterale, ad esempio destra, $Ha$ coincide esattamente con la classe di equivalenza $cl(a)$.
Dato $G$ un gruppo e $H$ un sottogruppo di $G$ definisci la relazione di equivalenza $\equiv _H$ secondo cui $\forall a,b \in G \ a \equiv_H b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$
Ora hai, per ogni elemento $a \in G$, $Ha={ha : h \in H}$ e $cl(a)={b \in G : a \equiv_H b}$

Sia quindi $x$ un elemento di $Ha$, allora $x=ha$ per un certo $h \in H$. Sai che questo $x$ sta in $cl(a)$ solamente se $ax^{-1}\in H$ ovvero, siccome la relazione è di equivalenza e dunque riflessiva, se $xa^{-1}\in H$.
Ma $xa^{-1}=(ha)a^{-1}=h(aa^{-1})=h \in H$.
Dunque tutti gli elementi di $Ha$ sono anche elementi di $cl(a)$ e $Ha \subseteq cl(a)$.

Sia invece $y$ un elemento di $cl(a)$. Sicuramente abbiamo $ay^{-1}\in H$ ovvero $ya^{-1}\in H$. Dunque se $ya^{-1}\in H$, per un certo $h \in H$, $ya^{-1} = h$. Così nella costruzione del laterale destro, per detto $h$ avremo $ha= (ya^{-1})a=y(a^{-1}a)=y \in Ha$.
Dunque tutti gli elementi di $cl(a)$ sono anche elementi di $Ha$ e $cl(a) \subseteq Ha$.

Dalla doppia inclusione $Ha=cl(a)$.

Ora dovrebbe esserti più chiaro perché $gH=g'H \Rightarrow g^{-1}g' \in H$.

"AM9":...magari con qualche esempio che chiarisca meglio la teoria.

Prova a pensare al gruppo degli interi rispetto all'usuale operazione di somma $(ZZ, +)$. In questo caso infatti la relazione di equivalenza sopra citata è la classica relazione di congruenza modulo.

Ciao.