Elementi di un insieme.
Scusate per questa domanda ambigua, ma è una cosa alla quale tengo.
Se ho un insieme $A$ costituito da elementi senza proprietà ( ammesso che ciò sia possibile ), ha senso imporre una funzione $f:AtoA$ che non sia quella d'identità? Ovvero può esistere tale funzione?
Ad esempio ( ammettendo per ipotesi una funzione ): $ainA$; $f(a)=a_1inf(A)$. È possibile: $binA$; $f(b)=b_1inf(A)$, se gli elementi non possiedono proprietà?
Per intenderci: $A=RR$. $f:AtoA:f(x)=3x, (x)inA$. Se si prende $2$ avremo: $f(2)=6$; se si prende $6$ avremo $f(6)=18$. Insomma, da ogni elemento si ricava sempre un altro in base alla legge stabilita, in questo caso. Ma se nel primo caso ad $a$ si collega $a_1$, stabilita una funzione ( che non sia quella d'identità ), con quale criterio a $b$ può essere collegato $b_1$, dal momento che non ci sono proprietà?
Per proprietà intendo qualcosa come campo, possedere operazioni e altro.
Se ho un insieme $A$ costituito da elementi senza proprietà ( ammesso che ciò sia possibile ), ha senso imporre una funzione $f:AtoA$ che non sia quella d'identità? Ovvero può esistere tale funzione?
Ad esempio ( ammettendo per ipotesi una funzione ): $ainA$; $f(a)=a_1inf(A)$. È possibile: $binA$; $f(b)=b_1inf(A)$, se gli elementi non possiedono proprietà?
Per intenderci: $A=RR$. $f:AtoA:f(x)=3x, (x)inA$. Se si prende $2$ avremo: $f(2)=6$; se si prende $6$ avremo $f(6)=18$. Insomma, da ogni elemento si ricava sempre un altro in base alla legge stabilita, in questo caso. Ma se nel primo caso ad $a$ si collega $a_1$, stabilita una funzione ( che non sia quella d'identità ), con quale criterio a $b$ può essere collegato $b_1$, dal momento che non ci sono proprietà?
Per proprietà intendo qualcosa come campo, possedere operazioni e altro.
Risposte
L’esistenza di una funzione è indipendente dalla sua rappresentazione attraverso formule.
Bene, quindi la risposta è affermativa anche in caso di elementi senza proprietà; Ovvero non '' gli elementi tali che '', ma semplicemente '' gli elementi ''. Da quello che scrivi deduco che la funzione in generale è una configurazione di tutti i collegamenti tra un insieme $A$ e un altro $B$. Poi sono possibili più configurazioni ( di numero finito se gli insiemi sono finiti, di numero infinito se gli insiemi sono infiniti ).
Quindi anche se non hanno proprietà, posso dire ( relativamente al primo esempio ) a $ainA$ applico $a_1inf(A)$, mentre a $binA$ applico $b_1inf(A)$, perché non si tratta di un qualcosa costruito passo per passo, piuttosto di un '' ricalcare '' qualcosa di già esistente. In sintesi una funzione, per quanto riguarda gli elementi di due insiemi, è un possibile accostamento. Giusto?
Cioè non interessa che non ci sia un criterio per affermare '' questo è collegato a quello perché '' e '' quest'altro è collegato a quell'altro perché '', ma è un certo possibile collegamento e basta, automaticamente stabilito dall'esistenza negli insiemi di ogni elemento.
Quindi anche se non hanno proprietà, posso dire ( relativamente al primo esempio ) a $ainA$ applico $a_1inf(A)$, mentre a $binA$ applico $b_1inf(A)$, perché non si tratta di un qualcosa costruito passo per passo, piuttosto di un '' ricalcare '' qualcosa di già esistente. In sintesi una funzione, per quanto riguarda gli elementi di due insiemi, è un possibile accostamento. Giusto?
Cioè non interessa che non ci sia un criterio per affermare '' questo è collegato a quello perché '' e '' quest'altro è collegato a quell'altro perché '', ma è un certo possibile collegamento e basta, automaticamente stabilito dall'esistenza negli insiemi di ogni elemento.
Non userei il termine applico tra elemento e la sua immagine ma direi di si: una funzione è una relazione tra gli elementi del dominio e gli elementi del codominio tale che ad ogni elemento del primo è associato un elemento del secondo in modo univoco.
Molto utile, ti ringrazio.
La definizione che ho usato io è comunque la definizione classica di funzione. Dovrebbe esserti stata fatta in qualche corso, se non hai visto queste cose dovresti cercarti del materiale e farlo.
Il molto utile non era riferito alla definizione classica, ma a questo:
Anche se è una conseguenza, mi è servito a far partire quel ragionamento che mi ha chiarito un po' di cose. In estrema sintesi: non importa il '' significato '' dell'associazione, ma una configurazione di associazioni esiste potenzialmente grazie all'esistenza degli elementi negli insiemi. Insomma, indipendentemente dal '' come '' ( ad esempio $f(x)=3x$ giustifica perché a $2$ si associa $6$, mentre a $6$ si associa $18$ ), a $a$ posso associare $a_1$, mentre a $b$ posso associare $b_1$, nonostante il '' perché '' possa anche non esserci, se non quello del '' è una possibile configurazione di collegamenti tra gli elementi degli insiemi '', quindi esiste la funzione, da cui il collegamento.
L’esistenza di una funzione è indipendente dalla sua rappresentazione attraverso formule.
Anche se è una conseguenza, mi è servito a far partire quel ragionamento che mi ha chiarito un po' di cose. In estrema sintesi: non importa il '' significato '' dell'associazione, ma una configurazione di associazioni esiste potenzialmente grazie all'esistenza degli elementi negli insiemi. Insomma, indipendentemente dal '' come '' ( ad esempio $f(x)=3x$ giustifica perché a $2$ si associa $6$, mentre a $6$ si associa $18$ ), a $a$ posso associare $a_1$, mentre a $b$ posso associare $b_1$, nonostante il '' perché '' possa anche non esserci, se non quello del '' è una possibile configurazione di collegamenti tra gli elementi degli insiemi '', quindi esiste la funzione, da cui il collegamento.
In realtà la discussione può essere portata un po' pù in là. L'insieme delle funzioni su una qualche struttura è essa stessa un struttura algebrica con varie operazione su di essa. In particolare possiede varie operazioni ‘puntuali’ e l'operazione di composizione. Per insiemi infiniti, noi siamo capaci di rappresentare/concepire solo alcune funzioni particolari, e quindi quando noi scriviamo \(f(x) = 3x + \log(x)\) stiamo scrivendo \(f\) come elemento delle sottostruttura generata da queste funzioni particolari. È un po' come quando scomponi un numero in fattori primi, qui stai rappresentando la funzioni attraverso altre funzioni più maneggevoli (anche se la rappresentazione non è certamente univoca).
Più avanti vedrai che esistono funzioni non-misurabili secondo Labesgue. Queste funzioni sono molto lontane da essere rappresentabili attraverso funzioni semplici.
Più avanti vedrai che esistono funzioni non-misurabili secondo Labesgue. Queste funzioni sono molto lontane da essere rappresentabili attraverso funzioni semplici.
elementi senza proprietà? farebbero parte dell'insieme che ha come elementi gli elementi senza proprietà, ovvero tutti quegli insiemi che hanno la proprietà di non avere proprietà. Mi sembra un'antinomia. Non so se la matematica sia riuscita ad uscirne fuori, aspetto risposta da esperto.
Ho supposto che _GaS_ intendesse semplicemente che fosse un insieme senza una struttura precisa definita sopra, come in effetti era. Fondamentalmente un insieme visto come elemento della categoria degli insiemi. È evidente che la sua frase nella teoria degli insiemi è molto pericolosa e penso non abbia senso. Ma non ho approfondito molto la teoria assiomatica degli insiemi quindi non saprei con certezza. Comunque, a occhio direi che per ogni elemento è sempre possibile creare una proprietà su di esso (essere quell'elemento è una proprietà).
Ho supposto che _GaS_ intendesse semplicemente che fosse un insieme senza una struttura precisa definita sopra, come in effetti era.
Esatto. Non '' elemento tale che '', ma '' elemento '' e basta. Insomma, massima generalità; questo intendevo con '' senza proprietà '', per quanto possa essere pericoloso questo termine. Più che altro mi interessava che non fosse un insieme numerico.
Sull'insieme di funzioni come struttura algebrica: interessante, comunque l'importante è che una funzione esiste perché potenziale associazione ( in una certa configurazione ) degli elementi di due insiemi. Sul più generale possibile rimanendo.
P.S.: ho l'impressione che studiare matematica senza un'adeguata conoscenza dell'algebra non lasci '' buchi '', ma '' crateri ''
nella comprensione della matematica stessa. C'è lo zampino dell'algebra in tutto.
Si e no, i concetti essenziali che ti servono di algebra si fanno in un paio di corsi. Che cosa studi?
La situazione è particolare. Ti rispondo in privato.
vict85 è una affermazione matematica riconosciuta che un elemento abbia la proprietà di essere quell'elemento? So che è diverso ma l'esistenza non è un predicato, credo che sia facile riportare l'affermazione " un elemento ha la proprietà di essere proprio quell'elemento?" a "quell'elemento ha la proprietà di esistere", e la seconda è falsa.
Sì, \(\phi(x)\colon= (x=a)\) è una formula.
Immaginavo. E $a$ cosa dovrebbe significare? Perché non scrivere $x$? Sono domande un po' banali, ma se vuoi le sposto in un altro topic!
\(a\) è una costante. Quello che intendevo è che, per esempio, \(2\) soddisfa la formula \(x=2\) dove \(x\) è una variabile libera.
Si ma x rappresenta un insieme di elementi: non è corretto. Il problema era identificare un elemento e la formula che dice che quell'elemento ha la proprietà di essere quell'elemento
La formula che ho scritto è una formula aperta di un linguaggio del primo ordine che rappresenta l'insieme \(\{a\}\) (le \(x\) che soddisfano la formula sono il solo elemento \(a\)). Di fatto qui sono al di fuori della teoria degli insiemi e \(\displaystyle a \) è solo un simbolo che interpreto come il particolare elemento di quel particolare insieme. Detto questo non sono un esperto di teoria assiomatica degli insiemi.
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