Elementi di un campo come spazio vettoriale su un sottocampo

[Hop Frog1]

Sia

[tex]L={{\mathbb{Z} 2[X]} \over (X^{3}+2X+1)}[/tex]

La cardinalità di L è chiaramente 8 = [tex]2^{3}[/tex] .

Ciò che mi viene difficile è capire QUALI siano questi elementi..
ero abituato nell' ambito degli insiemi/gruppi quozienti di considerare un elemento uguale ad un altro quando in a+I I "assorbiva" a.
Insomma in poche parole:
[tex]2+2\mathbb{Z} =4+2\mathbb{Z}[/tex]

Ma qui non capisco proprio..
alcune cose che mi vengono in mente sono:
[i vari polinomi di Z2] + (f)
ma per esempio, i seguenti:
[tex]X+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^{2}+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^{3}+1+(X^{3}+2X+1)[/tex]

ssono gli stessi o no??
io non capisco proprio come elencare questi otto elementi...

[Steven11]

Stai praticamente dividendo ogni polinomio a coefficienti in $ZZ_2$ per un polinomio di 3° grado, e gli elementi dell'insieme quoziente sono i possibili resti.

Dividendo per un elemento di 3° grado, che resto otterrai? Se conosci la divisione euclidea, sicuramente saprai che il resto ha grado inferiore a 3, cioè: 0,1 oppure 2.

Dovrebbe esserti sufficiente questo per concludere (aiutati semmai anche col fatto che sai di avere 8 elementi, quando pensi di aver individuato i vari elementi, per verificare ci siano tutti).

Ti torna?

[Hop Frog1]

[tex]0+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]1+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X+1+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^2+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^2+X+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^2+1+(X^{3}+2X+1)[/tex]
[tex]X^2+X+1+(X^{3}+2X+1)[/tex]