Elementi di ordinali.
Supponiamo di avere un ordinale a. Per definizione la relazione d'appartenenza su a è di buon ordine e quindi esiste il minimo m. Ciò vuol dire che m è èelemento di a e ogni altro elemento di a o coincide con m o ha m come suo elemento.
Sia adesso y un elemento di m. Per transitività si ha anche che y è un elemento di a. Ma ciò vuol dire che a ha un elemento minore del minimo m, e ciò è assurdo, allora m=$ { O/ } $ .
Sia a diverso da $ { O/ } $ e diverso da $ {{ O/ } }$. Visto che a-$ {{ O/ } }$ è sottoinsieme proprio di a allora esso è dotato di minimo m. Sia y un elemento di m. ancora una volta per la transitività y è elemento di a minore di m, ciò vuol dire che y è necessariamente l'unico elemento di a che non appartiene ad a-$ {{ O/ } }$, ovvero $ {O/}$.
Fino qui mi sembra corretto, adesso però, vorrei capire come funziona con il terzo elemento.
Penso di poter supporre a diverso da $ { O/ } $,$ {{ O/ } }$ e da $ { O/ ,{ O/ }} $. allora a- $ { O/ ,{ O/ }} $ è sottoinsieme proprio di a. Quindi per la relazione d'ordine esiste il suo minimo m.
Sia y un elemento di m. per transitività y è elemento di a e quindi ho trovato in a un elemento minore di m, quindi, deve essere necessariamente l'unico elemento di a che non è elemento di a- $ { { O/ ,{ O/ }}} $, ovvero y=${ O/ ,{ O/ }}$, quindi m=${ O/ ,{ O/ }}$, giusto?
Sia adesso y un elemento di m. Per transitività si ha anche che y è un elemento di a. Ma ciò vuol dire che a ha un elemento minore del minimo m, e ciò è assurdo, allora m=$ { O/ } $ .
Sia a diverso da $ { O/ } $ e diverso da $ {{ O/ } }$. Visto che a-$ {{ O/ } }$ è sottoinsieme proprio di a allora esso è dotato di minimo m. Sia y un elemento di m. ancora una volta per la transitività y è elemento di a minore di m, ciò vuol dire che y è necessariamente l'unico elemento di a che non appartiene ad a-$ {{ O/ } }$, ovvero $ {O/}$.
Fino qui mi sembra corretto, adesso però, vorrei capire come funziona con il terzo elemento.
Penso di poter supporre a diverso da $ { O/ } $,$ {{ O/ } }$ e da $ { O/ ,{ O/ }} $. allora a- $ { O/ ,{ O/ }} $ è sottoinsieme proprio di a. Quindi per la relazione d'ordine esiste il suo minimo m.
Sia y un elemento di m. per transitività y è elemento di a e quindi ho trovato in a un elemento minore di m, quindi, deve essere necessariamente l'unico elemento di a che non è elemento di a- $ { { O/ ,{ O/ }}} $, ovvero y=${ O/ ,{ O/ }}$, quindi m=${ O/ ,{ O/ }}$, giusto?
Risposte
Non ho mai studiato a fondo queste cose, ma ho sempre trovato difficoltà a lavorare con gli ordinali scrivendoli come insiemi.
Partiamo dal presupposto che ogni ordinale non vuoto contiene $ \emptyset $ e perciò evidentemente il minimo di ogni ordinale è sempre $ \emptyset $.
Perciò a mio avviso quando dici "prendo $y$ elemento di $m$" bisogna supporre che $m$ sia non vuoto, e questo non è vero.
Questo errore non provoca disastri nelle prime due parti del tuo ragionamento, ma nella terza parte, quando in effetti si suppone che l'ordinale di partenza sia abbastanza grande, dà dei problemi. Infatti alla fine si deve ottenere comunque $m = \emptyset$; se prendi $y \in m$, supponi implicitamente che $m$ sia non vuoto, e perciò arrivi a una contraddizione.
Ripeto, non ho mai studiato queste cose, quindi meglio prendere con le molle quello che ho scritto...
Partiamo dal presupposto che ogni ordinale non vuoto contiene $ \emptyset $ e perciò evidentemente il minimo di ogni ordinale è sempre $ \emptyset $.
Perciò a mio avviso quando dici "prendo $y$ elemento di $m$" bisogna supporre che $m$ sia non vuoto, e questo non è vero.
Questo errore non provoca disastri nelle prime due parti del tuo ragionamento, ma nella terza parte, quando in effetti si suppone che l'ordinale di partenza sia abbastanza grande, dà dei problemi. Infatti alla fine si deve ottenere comunque $m = \emptyset$; se prendi $y \in m$, supponi implicitamente che $m$ sia non vuoto, e perciò arrivi a una contraddizione.
Ripeto, non ho mai studiato queste cose, quindi meglio prendere con le molle quello che ho scritto...
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