Elementi cancellabili in Zn

[Pigreco2016]

Senza utilizzare la teoria degli anelli, ma restando solamente sull'ambito delle equazioni congruenziali, vorrei riuscire a dimostrare questa proposizione:
$a$ cancellabile in $\mathbb(Z_n)$ se e solo se $(a,n)=1$.
Con elemento cancellabile intendo $ax =ab mod n$ implica $x=b mod n$ e $xa =ba mod n$ implica $x=b mod n$.

[spugna2]

Se $(a,n)=1$, per Bezout esiste l'inverso di $a$ in $ZZ_n $, quindi $a$ è cancellabile (tramite moltiplicazione per $a^(-1) $). Viceversa, se $a $ è cancellabile, $ab=ac $ implica $b=c $, e quindi $a (b-c)=0$ implica $b-c=0$, ma allora se per assurdo $p|(a,n) $ con $p $ primo, allora $b-c=n/p $ porta a una contraddizione.