Elementi anello quoziente
Ciao a tutti!
Ho questo problema: quali sono gli elementi di $ZZ_3$/$(x+2)^2$?Sugli anelli quoziente ho proprio un vuoto...
Vi ringrazio!
Ho questo problema: quali sono gli elementi di $ZZ_3$/$(x+2)^2$?Sugli anelli quoziente ho proprio un vuoto...
Vi ringrazio!
Risposte
Dovrebbero essere i laterali. Quindi $[a]_3+(x+2)^2 $ (rispetto alla somma) e $[a]_3(x+2)^2$ (rispetto al prodotto)
non potrebbero essere i rappresentanti canonici come se si trattasse di una congruenza modulo un polinomio?
in che senso?!
scusami ho letto male, pensavo fosse $ZZ_3 [X]$
Ok, ma come si fa a trovarli?!
"Lorin":
Dovrebbero essere i laterali. Quindi $[a]_3+(x+2)^2 $ (rispetto alla somma) e $[a]_3(x+2)^2$ (rispetto al prodotto)
perchè in generale se ho un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$ tale che H è normale a G allora posso considerare la struttura quoziente $G/H={xh : x in G}$ (rispetto al prodotto)
${x+h: x in G} $
In pratica sono i laterali.
Queste definizioni vanno viste separatamente se si parla di gruppi $(G/H,*)$ o $(G/H,+)$ nel caso in cui $(G/H,*,+)$ allora è un anello e dovrebbero valere tutte e due.
Cosa vuol dire che H è normale a G?
Un sottogruppo H è normale quando:
$x^-1hx in H (x in G, h in H)$
oppure quando:
$xH=Hx$ cioè quando i laterali coincidono.
PS
comunque io ti consiglio di studiare un pò di teoria, altrimenti questa roba non la capirai mai.
$x^-1hx in H (x in G, h in H)$
oppure quando:
$xH=Hx$ cioè quando i laterali coincidono.
PS
comunque io ti consiglio di studiare un pò di teoria, altrimenti questa roba non la capirai mai.
La teoria l'ho studiata abbastanza (nonostante abbia un casino in testa) ma non abbiamo fatto i gruppi e penso che la definizione di "normale" sia inerente ai gruppi perchè sugli anelli non l'abbiamo mai trovata.
In che senso non avete studiato i gruppi?
Mi sembra strano che tu parli di Anelli senza sapere cos'è un gruppo. (senza offesa)
Mi sembra strano che tu parli di Anelli senza sapere cos'è un gruppo. (senza offesa)
E' così, sono sicura, sarò pure confusa ma abbiamo fatto solo gli anelli. I gruppi tra l'altro sono proprio in un altro capitolo.E' anomala la cosa?
certo, per lo meno abbastanza; un anello è prima di tutto un gruppo additivo abeliano.
c'è da dire che anche il Piacentini Cattaneo tratta prima gli anelli e poi i gruppi però...
ma studi matematica?
c'è da dire che anche il Piacentini Cattaneo tratta prima gli anelli e poi i gruppi però...
ma studi matematica?
Infatti ho il Piacentini Cattaneo.Comunque si, studio matematica.
anche io ho studiato prima gli anelli e poi i gruppi semplicemente non ti parlavano di gruppo additivo ma ne assiomatizzavano le proprietà ed ho studiato con la professoressa Piacentini-Cattaneo sul Piacentini-Cattaneo 
$ZZ[3]//(x+2)^2$ è un anello formato da classi di equivalenza con la relazione $f(x)~g(x) iff f(x)-g(x)=(x+2)^2*h(x)$ per un qualche $h(x)$. in genere si cerca di trovare dei rappresentanti "ottimali" per le classi di equivalenza in questo caso essendo $ZZ[x]$ un anello euclideo puoi fare la divisione tra polinomi, quindi prendi $p(x)$ è dividilo per $(x+2)^2$ otterrai qualcosa di questo tipo $p(x)=q(x)(x+2)^2+r(x)$ questo ti dice che $p(x) " e " r(x)$ sono nella stessa classe, $r(x)$ però avrà grado più basso di $(x+2)^2$. Questo ti dice che ogni classe ha un rappresentante di grado più basso di 2 (nel nostro caso), quindi in $ZZ_3[x]$ sono "pochi" (9) al massimo hai queste nove classi, devi capire se due di queste possono essere uguali oppure no. In effetti no, prendi due polinomi di grado minore di 2 quindi $p_1(x),p_2(x)$ distinti se fossero nella stessa classe avresti $p_1-p_2=(x+2)^2*h(x)$ e questo è impossibile per via dei gradi a sinistra hai grado $<=1$ a destra grado $>=2$. Spero di essere stato chiaro ed esaustivo, ciao
$ZZ[3]//(x+2)^2$ è un anello formato da classi di equivalenza con la relazione $f(x)~g(x) iff f(x)-g(x)=(x+2)^2*h(x)$ per un qualche $h(x)$. in genere si cerca di trovare dei rappresentanti "ottimali" per le classi di equivalenza in questo caso essendo $ZZ[x]$ un anello euclideo puoi fare la divisione tra polinomi, quindi prendi $p(x)$ è dividilo per $(x+2)^2$ otterrai qualcosa di questo tipo $p(x)=q(x)(x+2)^2+r(x)$ questo ti dice che $p(x) " e " r(x)$ sono nella stessa classe, $r(x)$ però avrà grado più basso di $(x+2)^2$. Questo ti dice che ogni classe ha un rappresentante di grado più basso di 2 (nel nostro caso), quindi in $ZZ_3[x]$ sono "pochi" (9) al massimo hai queste nove classi, devi capire se due di queste possono essere uguali oppure no. In effetti no, prendi due polinomi di grado minore di 2 quindi $p_1(x),p_2(x)$ distinti se fossero nella stessa classe avresti $p_1-p_2=(x+2)^2*h(x)$ e questo è impossibile per via dei gradi a sinistra hai grado $<=1$ a destra grado $>=2$. Spero di essere stato chiaro ed esaustivo, ciao
era quello che volevo dire io nel mio primo post...
ah rubik, certo, è il mio libro so che ne dà una definizione assiomatica che prescinde dalla nozione di gruppo, ma io ho studiato gli anelli comunque dopo i gruppi
ah rubik, certo, è il mio libro so che ne dà una definizione assiomatica che prescinde dalla nozione di gruppo, ma io ho studiato gli anelli comunque dopo i gruppi
Ok,tutto chiaro 
Grazie mille e scusatemi ma gli anelli non mi vanno proprio giù!
Grazie mille e scusatemi ma gli anelli non mi vanno proprio giù!
Oddio può essere buono quanto vuoi sto libro ma sinceramente a mio parere si dovrebbe prima spiegare i gruppi e poi gli anelli.
De gustibus
De gustibus
"Lorin":
Dovrebbero essere i laterali. Quindi $[a]_3+(x+2)^2 $ (rispetto alla somma) e $[a]_3(x+2)^2$ (rispetto al prodotto)
...
...
Queste definizioni vanno viste separatamente se si parla di gruppi $(G/H,*)$ o $(G/H,+)$ nel caso in cui $(G/H,*,+)$ allora è un anello e dovrebbero valere tutte e due.
Sugli anelli si definisce anello quoziente $A//I$, se $I$ è ideale di $A$, come l'insieme delle classi laterali $a+I$, $ain A$, dunque solo rispetto alla somma, e non al prodotto.Il punto è che rispetto alla moltiplicazione non ogni elemento è invertibile, quindi $(A,*)$ NON è un gruppo. In un anello l'operazione "avvantaggiata" è la somma, anche il nucleo di un omorfismo $f$ si definisce come l'insieme degli elementi $ainA$ tali che $f(a)=0$, e non tali che $f(a)=1$ (supposto che l'anello sia dotato di unità), poichè in tal modo non sarebbe un ideale. E comunque credo che l'anello in questione sia $A=(Z_3[x])//(x+2)^2$, e come dice rubik i suoi elementi sono $ {(x+2)^2,x+(x+2)^2,2x+(x+2)^2,1+(x+2)^2,1+x+(x+2)^2,1+2x+(x+2)^2,2+(x+2)^2,2+x+(x+2)^2,2+2x+(x+2)^2}$.
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