E' una funzione questa relazione?
f è la relazione che associa ad ogni retta del fascio di rette del piano con centro P il punto sulla retta R del piano (la sua proiezione ): Afa , Bfb, Cfc etc... ( A,B,C sono le rette del fascio di centro P , mentre a,b,c sono le proiezioni\intersezioni di tali rette con la retta del piano R ).
f non è una funzione secondo me , perchè è FUNZIONALE ma non è ovunque definita ( la retta del fascio // alla retta R non ha immagine , se non all'infinito).
La relazione inversa g ( agA,bgB,cgC , etc...) è una funzione ? Seconde me sì, non è suriettiva ma è una funzione(ogni punto dela retta R ha immagine, tranne quello all'infinito, ma conta questo punto? ). Il libro dice che tale inversa invece NON è una funzione. Come mai ? Grazie
f non è una funzione secondo me , perchè è FUNZIONALE ma non è ovunque definita ( la retta del fascio // alla retta R non ha immagine , se non all'infinito).
La relazione inversa g ( agA,bgB,cgC , etc...) è una funzione ? Seconde me sì, non è suriettiva ma è una funzione(ogni punto dela retta R ha immagine, tranne quello all'infinito, ma conta questo punto? ). Il libro dice che tale inversa invece NON è una funzione. Come mai ? Grazie
Risposte
Proiezione o intersezione? Sono cose diversissime...
E che roba è $R$?
Una retta a casaccio? Una del fascio?
Un "funzionale" sai che roba è?
E che roba è $R$?
Una retta a casaccio? Una del fascio?
Un "funzionale" sai che roba è?
il libro la chiama "proiezione dei punti di una retta R dal centro P del fascio di rette" . Il fascio di rette ha centro P , la retta R non appartiene al fascio. ( secondo me tale proiezione essendo non ortogonale coincide con l'intersezione).
La relazione inversa g è la sezione del fascio di rette di centro P con la retta R .
So cos'è un funzionale . Ma g secondo me è una funzione ( è ovunque definita su R , e punti diversi corrispondono a rette del fascio distinte; non è suriettiva. ) . Grazie
La relazione inversa g è la sezione del fascio di rette di centro P con la retta R .
So cos'è un funzionale . Ma g secondo me è una funzione ( è ovunque definita su R , e punti diversi corrispondono a rette del fascio distinte; non è suriettiva. ) . Grazie
La terminologia sembra usata un po’ a casaccio, ma non avendo il testo esatto del problema è inutile cercare di limarla…
Chiamiamo $mathcal(F)$ il fascio proprio di rette di centro un punto $P$ del piano ed $r$ una retta non in $mathcal(F)$ (sicché $P notin r$).
La relazione $f$ tra $mathcal(F)$ ed $r$ associa ad ogni retta $t in mathcal(F)$ il punto di intersezione (se esiste) tra $t$ ed $r$. È evidente che l’articolo determinativo “il” è usato bene: infatti, se $t nn r ne emptyset $, allora $t nn r$ contiene un unico punto $T$.[nota]Per assurdo, se $t nn r$ fosse costituito da due o più punti distinti, si dovrebbe avere $r = t in mathcal(F)$; contro il fatto che $r notin mathcal(F)$ per ipotesi.[/nota]
La $f$, sebbene sia una relazione univoca, non è una funzione di $mathcal(F)$ in $r$ perché non è definita ovunque in $mathcal(F)$: infatti, la retta $r^\prime in mathcal(F)$ parallela ad $r$ (ce n’è solo una, per ovvi motivi) non è associata a nessun punto di $r$ perché $r^\prime nn r = emptyset $.
Viceversa, la relazione $g$ inversa di $f$, che associa ad ogni $A in r$ l’unica retta $a in mathcal(F)$ che passa per $A$, è una funzione invettiva ma non suriettiva di $r$ in $mathcal(F)$.
Chiamiamo $mathcal(F)$ il fascio proprio di rette di centro un punto $P$ del piano ed $r$ una retta non in $mathcal(F)$ (sicché $P notin r$).
La relazione $f$ tra $mathcal(F)$ ed $r$ associa ad ogni retta $t in mathcal(F)$ il punto di intersezione (se esiste) tra $t$ ed $r$. È evidente che l’articolo determinativo “il” è usato bene: infatti, se $t nn r ne emptyset $, allora $t nn r$ contiene un unico punto $T$.[nota]Per assurdo, se $t nn r$ fosse costituito da due o più punti distinti, si dovrebbe avere $r = t in mathcal(F)$; contro il fatto che $r notin mathcal(F)$ per ipotesi.[/nota]
La $f$, sebbene sia una relazione univoca, non è una funzione di $mathcal(F)$ in $r$ perché non è definita ovunque in $mathcal(F)$: infatti, la retta $r^\prime in mathcal(F)$ parallela ad $r$ (ce n’è solo una, per ovvi motivi) non è associata a nessun punto di $r$ perché $r^\prime nn r = emptyset $.
Viceversa, la relazione $g$ inversa di $f$, che associa ad ogni $A in r$ l’unica retta $a in mathcal(F)$ che passa per $A$, è una funzione invettiva ma non suriettiva di $r$ in $mathcal(F)$.
È ovviamente come dice gugo82. Suppongo che il termine proiezione, che anche io considero improprio, sia legato al fatto che quella è una classica costruzione della retta proiettiva reale \(\mathbb{RP}^1\) (nel quale la retta parallela a \(r\) rappresenta il punto all'infinito).
Il problema riguarda le funzioni e le loro inverse , non la geometria forse per questo non usa termini rigorosi, , è tratto da ESERCIZI DI ALGEBRA , pag. 33 , FAVRO-GALLO-MASSAZA ( Levrotto-Torino) . Mi fa piacere che concordate con me sull'inversa g . Grazie a tutti.
"gugo82":
......
Viceversa, la relazione $g$ inversa di $f$, che associa ad ogni $A in r$ l’unica retta $a in mathcal(F)$ che passa per $A$, è una funzione invettiva ma non suriettiva di $r$ in $mathcal(F)$.
vedi la mia rettifica
devo rettificare, rileggendo la pagina 33 e considerando l'approsimazione del disegno presente che mi aveva ingannato, avevo scambiato f con g , per cui ha ragione il libro : f è una funzione e l'inversa g NON è una funzione : f( punto) = retta
mentre g(retta)= punto ( g non è ovunque definita ).
mentre g(retta)= punto ( g non è ovunque definita ).
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