Due gruppi finiti isomorfi $rArr$ hanno stessa cardinalità
Due gruppi finiti isomorfi $rArr$ hanno stessa cardinalità.
vorrei sottoporre a giudizio la mia dimostrazione
Parto dal seguente fatto: sia $f:G->G'$ un omomorfismo allora se $H\leqGrArrf(H)\leqG'$
infatti dati $x',y'inf(H)$ allora esistono $x,yinH$ tali che $f(x)=x'$ e $f(y)=y'$.
$xy^-1inH$ perché $H$ è un sottogruppo,quindi $f(xy^-1)inf(H)$, essendo un omomorfismo allora $f(xy^-1)=f(x)f(y)^-1=x'y'^-1inf(H)rArrf(H)\leqG'$
Ora per dimostrare l'asserto prendo $f(H)=Im(f)$ e ragiono sul fatto che ho un isomorfismo. Avendo a che fare con un isomorfismo la mappa è suriettiva quindi $Im(f)=G'$ e in particolare $|Im(f)|=|G'|$,essendo un isomorfismo anche iniettivo so che ad ogni elemento di $Im(f)$ corrisponde un solo elemento di $G$.
Si conclude che $|Im(f)|=|G|=|G'|$.
vorrei sottoporre a giudizio la mia dimostrazione
Parto dal seguente fatto: sia $f:G->G'$ un omomorfismo allora se $H\leqGrArrf(H)\leqG'$
infatti dati $x',y'inf(H)$ allora esistono $x,yinH$ tali che $f(x)=x'$ e $f(y)=y'$.
$xy^-1inH$ perché $H$ è un sottogruppo,quindi $f(xy^-1)inf(H)$, essendo un omomorfismo allora $f(xy^-1)=f(x)f(y)^-1=x'y'^-1inf(H)rArrf(H)\leqG'$
Ora per dimostrare l'asserto prendo $f(H)=Im(f)$ e ragiono sul fatto che ho un isomorfismo. Avendo a che fare con un isomorfismo la mappa è suriettiva quindi $Im(f)=G'$ e in particolare $|Im(f)|=|G'|$,essendo un isomorfismo anche iniettivo so che ad ogni elemento di $Im(f)$ corrisponde un solo elemento di $G$.
Si conclude che $|Im(f)|=|G|=|G'|$.
Risposte
Se conosci il teorema fondamentale di isomorfismo allora è una semplice osservazione. Infatti $G //ker(f) \cong Im(f)$
Se per ipotesi $f$ è isomorfismo $kerf={0}$ e $Imf=G'$ da cui l'asserto.Ora per dimostrare l'asserto prendo f
Se per ipotesi $f$ è isomorfismo $kerf={0}$ e $Imf=G'$ da cui l'asserto.Ora per dimostrare l'asserto prendo f
Scusate, ma c'è bisogno di dimostrarlo? A me pare che quando siamo in presenza di un isomorfismo di gruppi (finiti o infiniti, non mi pare importi in questo caso la finitezza) i due gruppi siano già in biiezione, con biiezione data dallo stesso isomorfismo, no?
"mistake89":
Se conosci il teorema fondamentale di isomorfismo allora è una semplice osservazione. Infatti $G //ker(f) \cong Im(f)$
Se per ipotesi $f$ è isomorfismo $kerf={0}$ e $Imf=G'$ da cui l'asserto.
ma il teorema fondamentale di omomorfismo ha come ipotesi il fatto che ci sia un omomorfismo $f:G->G'$ e il corrispettivo omomorfismo canonico $mu$ e con queste ipotesi afferma che $f:G->G'$ è un isomorfismo qualora $ker(f)={0}$
ma questa è semplicemente l'ipotesi (se vogliamo) con cui cercavo di dimostrare che $|G|= |G'|$ ,no?
forse volevi dire che mi permette di saltare la parte corrispettiva a quando dimostravo che $f(H)$ è un sottogruppo di $G$? ,scusa la mia insistenza
"Lemniscata":
Scusate, ma c'è bisogno di dimostrarlo? A me pare che quando siamo in presenza di un isomorfismo di gruppi (finiti o infiniti, non mi pare importi in questo caso la finitezza) i due gruppi siano già in biiezione, con biiezione data dallo stesso isomorfismo, no?
Direi che sono d'accordo con te.
"Seneca":
[quote="Lemniscata"]Scusate, ma c'è bisogno di dimostrarlo? A me pare che quando siamo in presenza di un isomorfismo di gruppi (finiti o infiniti, non mi pare importi in questo caso la finitezza) i due gruppi siano già in biiezione, con biiezione data dallo stesso isomorfismo, no?
Direi che sono d'accordo con te.[/quote]
però l'ho trovato tra gli esercizi degli esoneri
Due gruppi $G , G'$ si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo (cioè un omomorfismo biiettivo) di $G$ in $G'$. Il fatto che i due gruppi siano finiti e che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell'uno e gli elementi dell'altro implica che i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
"Seneca":
Due gruppi $G , G'$ si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo (cioè un omomorfismo biiettivo) di $G$ in $G'$. Il fatto che i due gruppi siano finiti e che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell'uno e gli elementi dell'altro implica che i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Vorrei dire che ciò vale per qualunque struttura algebrica: dire che delle strutture \(\mathscr{A}\) e \(\mathscr{B}\) sono isomorfe implica anche che \(\mathrm{Card} (\mathscr{A}\,)=\mathrm{Card} (\mathscr{B})\).
"cappellaiomatto":
[quote="mistake89"]Se conosci il teorema fondamentale di isomorfismo allora è una semplice osservazione. Infatti $G //ker(f) \cong Im(f)$
Se per ipotesi $f$ è isomorfismo $kerf={0}$ e $Imf=G'$ da cui l'asserto.
ma il teorema fondamentale di omomorfismo ha come ipotesi il fatto che ci sia un omomorfismo $f:G->G'$ e il corrispettivo omomorfismo canonico $mu$ e con queste ipotesi afferma che $f:G->G'$ è un isomorfismo qualora $ker(f)={0}$
ma questa è semplicemente l'ipotesi (se vogliamo) con cui cercavo di dimostrare che $|G|= |G'|$ ,no?
forse volevi dire che mi permette di saltare la parte corrispettiva a quando dimostravo che $f(H)$ è un sottogruppo di $G$? ,scusa la mia insistenza[/quote]
Sì scusami ho detto una boiata. Avevo letto di fretta!
"cappellaiomatto":Me ne meraviglierei se fosse stato in un esame scritto effettivo, può capitare ad un orale ma... Lascio stare; alla fine hai capito?
...però l'ho trovato tra gli esercizi degli esoneri
"j18eos":Me ne meraviglierei se fosse stato in un esame scritto effettivo, può capitare ad un orale ma... Lascio stare; alla fine hai capito?[/quote]
[quote="cappellaiomatto"]...però l'ho trovato tra gli esercizi degli esoneri
si grazie,comunque a prescindere da quanto si potesse considerare utile tale dimostrazione volevo più che altro confrontarla per vedere se fosse corretta.
in teoria tutto ciò che non è un assioma si dimostra,no?
e personalmente le dimostrazioni che fin'ora mi sono tornate più utili sono quelle banali perché contengono i passaggi logici più diffusi da usare nei teoremi più complessi,
poi non so se ho fatto qualche passaggio di troppo,ma la dimostrazione che ho fatto io alla fine non dura neanche poco...
cappellaiomatto, ti consiglio di fare un po' di "pulizia mentale" 
Ora ti ripeto quello che ti hanno detto Lemniscata e Seneca, sperando di non infastidirti.
La questione è molto semplice:
un isomorfismo [tex]A \to B[/tex] è per definizione un omomorfismo biiettivo,
in particolare è una funzione biiettiva,
in particolare [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] hanno la stessa cardinalità (per definizione di cardinalità).
Fine. Tutte le considerazioni che hai fatto al di fuori di queste sono oggettivamente inutili.
Ora ti ripeto quello che ti hanno detto Lemniscata e Seneca, sperando di non infastidirti.
La questione è molto semplice:
un isomorfismo [tex]A \to B[/tex] è per definizione un omomorfismo biiettivo,
in particolare è una funzione biiettiva,
in particolare [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] hanno la stessa cardinalità (per definizione di cardinalità).
Fine. Tutte le considerazioni che hai fatto al di fuori di queste sono oggettivamente inutili.
Stavo giusto aspettando che un mostro sacro del calibro di Martino scendesse tra noi mortali a chiudere la questione... 
Per quel che mi riguarda sei stato tu a chiuderla!
Martino ha avuto la (santa) pazienza di esplicitare tutti i dettagli!
Martino ha avuto la (santa) pazienza di esplicitare tutti i dettagli!
Esatto, Lemniscata, io ho solo ripetuto quello che avete già detto (come è noto ripetere giova 
).
).
Beh, ciò non toglie che tu sia un mostro sacro ai miei occhi... spero che tu non ti offenda per il "mostro"
Per le questioni sulla cardinalità segnalo, tanto per dare un nome, il teorema di Bernstein - Cantor.
"Martino":
cappellaiomatto, ti consiglio di fare un po' di "pulizia mentale"
Ora ti ripeto quello che ti hanno detto Lemniscata e Seneca, sperando di non infastidirti.
la questione della pulizia è vera per ogni post,non mi infastidisci anzi ti ringrazio molto per l'aiuto!
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