Due forme dell'assioma di scelta
In una discussione di tempo fa, avevo utilizzato l'assioma di scelta, in entrambe le sue due forme equivalenti qui riportate (riprendo esattamente ciò che avevo scritto a suo tempo):
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti a coppie disgiunti, esiste un insieme $C$ di scelta.
e:
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti, esiste una funzione $g$ di scelta.
Dicendo di scelta significa che $C$ è tale che $C \bigcap X$ consiste in un solo elemento per ogni $X$ della famiglia, mentre nella seconda forma vuol dire che la funzione $g:\mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F}$ è tale che per ogni insieme $X$ della famiglia si abbia $g(X) \in X$.
Mi è venuto un dubbio di quelli classificabili come "pippa mentale", ma tant'è: provo ad esporlo.
Nel cercare di dimostrare che il primo enunciato implica il secondo, ho notato banalmente che dall'ipotesi esiste \(\displaystyle C \) tale che \(\displaystyle X\cap C \) è un singoletto \(\displaystyle \implies \) l'insieme delle coppie ordinate che vede come primo elemento un qualunque \(\displaystyle X\in \mathcal{F} \) e come secondo elemento l'unico oggetto dell'insieme \(\displaystyle C\cap X \) è ovviamente una relazione (sottoinsieme del prodotto cartesiano tra \(\displaystyle \mathcal{F} \) e \(\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \)) di tipo funzionale.
Domanda: oltre a chiedere una conferma sulla correttezza della dimostrazione, vi domando come, formalmente, andrebbe definita la funzione sopra cercata? Nel seguente modo?
$$ \left\{(X,x)\in\mathcal{F}\times \bigcup\mathcal{F} \;\;|\;\; X\in\mathcal{F}, x\in X\cap C\right\} $$
Non avendo mai studiato seriamente la teoria degli insiemi mi è venuta anche questa curiosità su come andrebbe veramente scritta.
Grazie in anticipo.
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti a coppie disgiunti, esiste un insieme $C$ di scelta.
e:
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti, esiste una funzione $g$ di scelta.
Dicendo di scelta significa che $C$ è tale che $C \bigcap X$ consiste in un solo elemento per ogni $X$ della famiglia, mentre nella seconda forma vuol dire che la funzione $g:\mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F}$ è tale che per ogni insieme $X$ della famiglia si abbia $g(X) \in X$.
Mi è venuto un dubbio di quelli classificabili come "pippa mentale", ma tant'è: provo ad esporlo.
Nel cercare di dimostrare che il primo enunciato implica il secondo, ho notato banalmente che dall'ipotesi esiste \(\displaystyle C \) tale che \(\displaystyle X\cap C \) è un singoletto \(\displaystyle \implies \) l'insieme delle coppie ordinate che vede come primo elemento un qualunque \(\displaystyle X\in \mathcal{F} \) e come secondo elemento l'unico oggetto dell'insieme \(\displaystyle C\cap X \) è ovviamente una relazione (sottoinsieme del prodotto cartesiano tra \(\displaystyle \mathcal{F} \) e \(\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \)) di tipo funzionale.
Domanda: oltre a chiedere una conferma sulla correttezza della dimostrazione, vi domando come, formalmente, andrebbe definita la funzione sopra cercata? Nel seguente modo?
$$ \left\{(X,x)\in\mathcal{F}\times \bigcup\mathcal{F} \;\;|\;\; X\in\mathcal{F}, x\in X\cap C\right\} $$
Non avendo mai studiato seriamente la teoria degli insiemi mi è venuta anche questa curiosità su come andrebbe veramente scritta.
Grazie in anticipo.
Risposte
Se \( C\cap X \) ha un solo elemento per ogni \( X\in\mathscr F \) allora puoi definire una funzione \( \mathscr F\to \bigcup\mathscr F \) come \( X\mapsto x \), dove \( x\in C\cap X \) è quell'unico elemento.
Un'altra forma ovvia di \( \sf{AC} \) è "il prodotto \( \prod_{i\in I}X_i \) di una famiglia \( \left(X_i\right)_{i\in I} \) di insiemi non vuoti non è mai vuoto". Questo perché per una famiglia tipo quella è
\[
\prod_{i\in I}X_i := \Big\{t\colon I\mapsto\bigcup_{i\in I}X_i : t(i)\in X_i\Big\}
\] praticamente per definizione.
Un'altra forma ovvia di \( \sf{AC} \) è "il prodotto \( \prod_{i\in I}X_i \) di una famiglia \( \left(X_i\right)_{i\in I} \) di insiemi non vuoti non è mai vuoto". Questo perché per una famiglia tipo quella è
\[
\prod_{i\in I}X_i := \Big\{t\colon I\mapsto\bigcup_{i\in I}X_i : t(i)\in X_i\Big\}
\] praticamente per definizione.
"marco2132k":
Un'altra forma ovvia di è "il prodotto di una famiglia di insiemi non vuoti non è mai vuoto".
Due insiemi disgiunti hanno intersezione vuota.
Ah scusami, ho capito.
Chiedo una conferma. Nel secondo enunciato che ho riportato:
manca che gli insiemi della famiglia devono essere a coppie disgiunti, vero?
L'ipotesi che siano a coppie disgiunti non va inserita solo nella prima forma, ma anche in questa seconda, è corretto?
Chiedo una conferma. Nel secondo enunciato che ho riportato:
"Silent":
Per ogni famiglia F di insiemi X non vuoti, esiste una funzione g di scelta.
manca che gli insiemi della famiglia devono essere a coppie disgiunti, vero?
L'ipotesi che siano a coppie disgiunti non va inserita solo nella prima forma, ma anche in questa seconda, è corretto?
\( \newcommand{\kerrel}{\mathrm{ker}} \)Ma le due forme non sono equivalenti?
Metti che per una famiglia \( \mathscr F \) di nonvuoti a due a due disgiunti esista sempre una funzione \( c\colon\mathscr F\to\bigcup\mathscr F \) di scelta. Da qui è immediato provare che ogni funzione suriettiva ha inversa destra. E da qui ricavare l'assioma della scelta "per-famiglie-di-non-necessariamente-disgiunti" ancora non dovrebbe essere difficile. Se \( \mathscr F \) è una tale famiglia, considera l'insieme \( \Phi = \left\{(x,X):\text{$ X\in\mathscr F $ e $ x\in X $}\right\} \) con le due proiezioni \( \pi_1\colon\Phi\to\bigcup\mathscr F \) e \( \pi_2\colon\Phi\to\mathscr F \): esiste l'inversa destra di entrambe, perché sono due funzioni suriettive; allora, detta \( \nu_2 \) l'inversa destra di \( \pi_2 \), (mi sa che) la funzione \( \pi_1\circ\nu_2\colon\mathscr F\to\bigcup\mathscr F \) è di scelta.
Poi. Ha senso in ZF(C) formare quell'insieme \( \Phi \)? Io non ne ho la minima idea, qui devi aspettare qualcun altro.
Metti che per una famiglia \( \mathscr F \) di nonvuoti a due a due disgiunti esista sempre una funzione \( c\colon\mathscr F\to\bigcup\mathscr F \) di scelta. Da qui è immediato provare che ogni funzione suriettiva ha inversa destra. E da qui ricavare l'assioma della scelta "per-famiglie-di-non-necessariamente-disgiunti" ancora non dovrebbe essere difficile. Se \( \mathscr F \) è una tale famiglia, considera l'insieme \( \Phi = \left\{(x,X):\text{$ X\in\mathscr F $ e $ x\in X $}\right\} \) con le due proiezioni \( \pi_1\colon\Phi\to\bigcup\mathscr F \) e \( \pi_2\colon\Phi\to\mathscr F \): esiste l'inversa destra di entrambe, perché sono due funzioni suriettive; allora, detta \( \nu_2 \) l'inversa destra di \( \pi_2 \), (mi sa che) la funzione \( \pi_1\circ\nu_2\colon\mathscr F\to\bigcup\mathscr F \) è di scelta.
Poi. Ha senso in ZF(C) formare quell'insieme \( \Phi \)? Io non ne ho la minima idea, qui devi aspettare qualcun altro.
Quello che volevo dire è che, presa ad esempio questa famiglia di insiemi:
\(\displaystyle \mathcal{F}=\{X_1,X_2,X_3,X_4\} \) con \(\displaystyle X_1=\{1,2,3\},X_2=\{1,2\},X_3=\{2,3\},X_4=\{1,3\} \)
(che non sono ovviamente a coppie disgiunti) una funzione di scelta la trovo, ma non trovo mai un insieme $C$ tale che l'intersezione con ognuno degli $X_i$ sia un singoletto.
Dunque, l'enunciato nella seconda forma (dove non c'è scritto che gli insiemi della famiglia debbano essere a coppie disgiunti) non implica l'enunciato nella prima forma.
Da cui, la mia domanda:
\(\displaystyle \mathcal{F}=\{X_1,X_2,X_3,X_4\} \) con \(\displaystyle X_1=\{1,2,3\},X_2=\{1,2\},X_3=\{2,3\},X_4=\{1,3\} \)
(che non sono ovviamente a coppie disgiunti) una funzione di scelta la trovo, ma non trovo mai un insieme $C$ tale che l'intersezione con ognuno degli $X_i$ sia un singoletto.
Dunque, l'enunciato nella seconda forma (dove non c'è scritto che gli insiemi della famiglia debbano essere a coppie disgiunti) non implica l'enunciato nella prima forma.
Da cui, la mia domanda:
"Silent":
Chiedo una conferma. Nel secondo enunciato che ho riportato:
Silent ha scritto:
Per ogni famiglia F di insiemi X non vuoti, esiste una funzione g di scelta.
manca che gli insiemi della famiglia devono essere a coppie disgiunti, vero?
L'ipotesi che siano a coppie disgiunti non va inserita solo nella prima forma, ma anche in questa seconda, è corretto?
Ci ho pensato un attimo. È vero che le due
Quello che invece non vale è che l'assioma della scelta (1) implichi che per ogni famiglia di insiemi non necessariamente disgiunti ci sia un \( C \) con la proprietà richiesta da (2).
Forse ora è meglio se aspetti anche il parere di qualcuno che ne sa più di me, però.
Assioma delle scelta. 1. Per ogni famiglia di non vuoti esiste una funzione di scelta.
Assioma di Zermelo. 2. Per ogni famiglia \( \mathscr F \) di insiemi nonvuoti e a due a due disgiunti esiste un insieme \( C \) tale che l'intersezione \( C\cap X \) è un singoletto per ogni \( X \) della famiglia.sono equivalenti.
Quello che invece non vale è che l'assioma della scelta (1) implichi che per ogni famiglia di insiemi non necessariamente disgiunti ci sia un \( C \) con la proprietà richiesta da (2).
Forse ora è meglio se aspetti anche il parere di qualcuno che ne sa più di me, però.
Grazie!
\(\newcommand\scrf{\mathscr F}\)
Oppure puoi (potete) prendere l'insieme \(\scrf \times \bigcup \scrf\), del quale ovviamente non mi serve tutto, ma solo il sottoinisieme degli insiemi puntati \[\scrf^\ast := \left\{ (X, a) \in \scrf \times \bigcup \scrf \mid a \in X \right\}\] partizionabile attraverso gli insiemi \[X^\ast := \{ (X, x) \mid x \in X \}\]. Applichi questa versione dell'assioma della scelta
e hai finito: l'insieme-scelta è la funzione-scelta cercata.
Come ti è stato fatto vedere da marco2132k, non ha senso visto he ti è sfuggita qualche evenienza nel primo post. Ma la domanda è: perché vuoi scriverla in formule? Hai assicurato solamente l'esistenza di una funzione scelta, non sai quale concretamente sia.
Sì (se con "famiglia" intendi "insieme").
"marco2132k":
[...] ricavare l'assioma della scelta "per-famiglie-di-non-necessariamente-disgiunti" ancora non dovrebbe essere difficile. Se \( \mathscr F \) è una tale famiglia, considera l'insieme \( \Phi = \left\{(x,X):\text{$ X\in\mathscr F $ e $ x\in X $}\right\} \) con le due proiezioni \( \pi_1\colon\Phi\to\bigcup\mathscr F \) e \( \pi_2\colon\Phi\to\mathscr F \): esiste l'inversa destra di entrambe, perché sono due funzioni suriettive; allora, detta \( \nu_2 \) l'inversa destra di \( \pi_2 \), (mi sa che) la funzione \( \pi_1\circ\nu_2\colon\mathscr F\to\bigcup\mathscr F \) è di scelta.
Oppure puoi (potete) prendere l'insieme \(\scrf \times \bigcup \scrf\), del quale ovviamente non mi serve tutto, ma solo il sottoinisieme degli insiemi puntati \[\scrf^\ast := \left\{ (X, a) \in \scrf \times \bigcup \scrf \mid a \in X \right\}\] partizionabile attraverso gli insiemi \[X^\ast := \{ (X, x) \mid x \in X \}\]. Applichi questa versione dell'assioma della scelta
"Silent":
Per ogni famiglia $ \mathcal{F} $ di insiemi $ X $ non vuoti a coppie disgiunti, esiste un insieme $ C $ di scelta.
e hai finito: l'insieme-scelta è la funzione-scelta cercata.
"Silent":
Domanda: oltre a chiedere una conferma sulla correttezza della dimostrazione, vi domando come, formalmente, andrebbe definita la funzione sopra cercata? Nel seguente modo?
\[ \left\{(X,x)\in\mathcal{F}\times \bigcup\mathcal{F} \;\;|\;\; X\in\mathcal{F}, x\in X\cap C\right\} \]
Come ti è stato fatto vedere da marco2132k, non ha senso visto he ti è sfuggita qualche evenienza nel primo post. Ma la domanda è: perché vuoi scriverla in formule? Hai assicurato solamente l'esistenza di una funzione scelta, non sai quale concretamente sia.
"marco2132k":
Poi. Ha senso in ZF(C) formare quell'insieme \( \Phi \)?
Sì (se con "famiglia" intendi "insieme").
Sì, già dall'ultimo messaggio di marco la situazione mi è più chiara. Grazie per avermela chiarita ancor di più. 
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