Due formalizzazioni e una dimostrazione per induzione

[Darèios89]

Formalizzare la frase:

Se ci sono numeri arbitrariamente grandi, che soddisfano la proprietà P, allora almeno uno di questi è un quadrato.

Utilizzando anche gli operatori * e <.

Ho pensato:

[tex]\forall x \exists y (x
Poi invece:

Presi due interi relativamente primi x e y c'è un numero primo congruente ad x modulo y.

Utilizzando i simboli +,*,= e il predicato P per essere numero primo.

[tex]\forall x \forall y (P(x)\wedge P(y))\rightarrow \exists w \exists z ((w-b)=y*z)[/tex]


Poi devo dimostrare per induzione che:

[tex]\forall n \geq3[/tex]

[tex]n^2>2n+1[/tex]

Il caso base è [tex]P(3) --> 9>7[/tex] vera.

Suppongo vera [tex]\forall n[/tex] [tex]n^2>2n+1[/tex]

Dimostro [tex](n+1)^2>2(n+1)+1[/tex]

[tex]n^2+2n+1>2n+3[/tex]

Ora non riesco a fare una maggiorazione o minorazione che mi aiuti..

[Silente]

\(\displaystyle \left( n+1 \right)^{2}=n^{2}+1+2n>2n+1+1+2n=4n+2=2\left( 2n+1 \right)>2\left( n+1 \right)+1 \)