Due esercizietti di algebra

[Raphael1]

Rieccomi qui..... sperando di trovare un po' di aiuto in qualche gentile amico più preparato e intuitivo di me! Ora scrivo il testo degli esercizi:
1. Usando la classificazioni dei gruppi abeliani finitamente generati, derivare per isomorfismi una classificazione per i $mathbb{Z}$-moduli finitamente generati

2. Sia $K$ un campo e $V$ un $K-$ spazio vettoriale. Fissato un $K-$endomorfismo $gamma in End_K(V)$, allora si può definire come segue una moltiplicazione a sinistra su $V$ con elementi di $K[t]$:
$(lambda(t),v) mapsto lambda(gamma)(v), (lambda(t) in K[t], v in V)$. Dimostrare che così $V$ risulta avere la struttura di un $K[t]$-modulo.

[Raphael1]

Per il secondo, vorrei solo una conferma di quello che ho fatto:

- essendo che $V$ è un $K-$ spazio vettoriale, allora $V$ risulta essere un gruppo abeliano ed inoltre risulta essere verificata anche la proprietà $1 cdot v=v$, per ogni $v in V$.

- devo allora anche dimostrare tre proprietà dell'operazione prodotto definita sopra:

1. $lambda(t)(v+w)=$(per def.)$lambda(gamma)(v+w)=$(poichè $gamma$ endomorfismo)$lambda((gamma)(v)+(gamma)(w))=lambda(gamma)(v)+lambda(gamma)(w)=lambda(t)v+lambda(t)w$ giusto?

2. $(lambda + mu)(t)v=(lambda+mu)(gamma)(v)=lambda(gamma)(v)+mu(gamma)(v)=lambda(t)v+mu(t)(v)$ giusto?

3. $lambda(t)(mu(t)v)=lambda(t)(mu(gamma)(v))=lambda(gamma)(mu(gamma)(v))=lambda(mu(gamma)(gamma)(v))=lambda(mu(gamma)(v))=lambda cdot mu (gamma)(v)=lambda cdot mu (t) v$

così avrei dimostrato la struttura d modulo, è corretto?

[Raphael1]

Per il primo, pensavo di ragionare così:

Ogni gruppo abeliano $G$ finitamento generato può essere dotato di una struttura di $mathbb{Z}$-modulo, e cioè la seguente:

preso $a in mathh{Z}, m in G$ definisco $a cdot m$ = a-volte $m$ se $a$ positivo, meno $a$-volte $m$ se $a$ negativo e $0$ se $a$ zero.

Quindi ogni gruppo abeliano finitamente generato risulta essere isomorfo ad un $Z-$modulo, giusto?

A questo punto è fatta.

[TomSawyer1]

"Raphael":Per il primo, pensavo di ragionare così:

Ogni gruppo abeliano $G$ finitamento generato può essere dotato di una struttura di $mathbb{Z}$-modulo, e cioè la seguente:

preso $a in mathh{Z}, m in G$ definisco $a cdot m$ = a-volte $m$ se $a$ positivo, meno $a$-volte $m$ se $a$ negativo e $0$ se $a$ zero.

Quindi ogni gruppo abeliano finitamente generato risulta essere isomorfo ad un $Z-$modulo, giusto?

A questo punto è fatta.

Esatto, basta definire $am$ in quel modo e $G$ diventa un modulo sull'anello $ZZ$.

EDIT: anche il secondo mi pare giusto

[Raphael1]

grazie mille!