Due esercizi sulle basi di Groebner + aggiornamenti

[celeste4]

Ciao a tutti! Ecco qui due esercizi da una serie di algoritmic algebra che devo consegnare martedì prossimo sui quali ho dei dubbi...(please date un occhio alle mie domande e anche se trovate che sono stupidaggini colossali, non appiccicatemi una soluzione premasticata invece di discutere di cosa non va...)

Mostrare che se $G$ è una base per un ideale $I$ con la proprietà che il resto della divisione di $f$ per $ G$ è 0 per ogni $f in I$, allora $G$ è una base di Groebner per I.

E' vero che:
G={g_1, ..., g_s} base di I.
Se il resto della divisione per $G$ è 0 per ogni $f$ nell'ideale, il $LT(f)$ (leading term) è divisibile per qualche $LT(g_i)$ ??

Per chè in tal coso ottengo l'uguaglianza di $$ e di $$ e ho finito...

Siano $G$ e $G'$ due basi di Groebner per I rispetto allo stesso monomial order in $K[x_1, ..., x_n]$.
Mostrare che $bar{f}^G=bar{f}^(G')$.

Ho pensato di mostrare che esiste un'unica base di Groebner per un dato monomial order...ma non so esattamente come fare...indizi?


Grazie in anticipo
Celeste

[celeste4]

Vabbè, ve ne metto pure un terzo sul quale non ho ancora pensato molto, ma questo pomeriggio mi ci metto:

Mostrare che il Teorema della Base di Hilbert (ogni ideale ha un set generatore finito) è equivalente alla Ascending Chain Condition (ogni sequenza ascendente di ideali si stabilizza)

[Lord K]

"celeste":Ciao a tutti! Ecco qui due esercizi da una serie di algoritmic algebra che devo consegnare martedì prossimo sui quali ho dei dubbi...(please date un occhio alle mie domande e anche se trovate che sono stupidaggini colossali, non appiccicatemi una soluzione premasticata invece di discutere di cosa non va...)

Mostrare che se $G$ è una base per un ideale $I$ con la proprietà che il resto della divisione di $f$ per $ G$ è 0 per ogni $f in I$, allora $G$ è una base di Groebner per I.

E' vero che:
G={g_1, ..., g_s} base di I.
Se il resto della divisione per $G$ è 0 per ogni $f$ nell'ideale, il $LT(f)$ (leading term) è divisibile per qualche $LT(g_i)$ ??

Per chè in tal coso ottengo l'uguaglianza di $$ e di $$ e ho finito...

Una definzione di base di Groebner è proprio quella! Ovvero il termine principale di ciascun polinomio in $I$ è divisibile per il termine principale di un qualche polinomio della base $G$

[celeste4]

E' che l'esercizio dice solo che ogni f è divisibile per G...da questo posso dire la cosa sui termini principali?

E grazie per la risposta super veloce!

[Lord K]

La definizione che conosco io e che è anche quella riportata su Wikipedia:

"Wikipedia":
A Gröbner basis G of an ideal I is characterised by any one of the following properties, stated relative to some monomial order:

the ideal given by the leading terms of polynomials in I is itself generated by the leading terms of the basis G;
the leading term of any polynomial in I is divisible by the leading term of some polynomial in the basis G;
multivariate division of any polynomial in the polynomial ring R by G gives a unique remainder;
multivariate division of any polynomial in the ideal I by G gives 0.

... e la cosa risulta abbastanza naturale e deriva dalla divisione tra polinomi in più indeterminate.

[celeste4]

Sissì, sulla definizione siamo d'accordo.
Il fatto è che bisogna mostrare che è un GB, non lo sappiamo, e non sono sicura che quel primo passo sia "lecito"...

[celeste4]

Aggiornamento sul secondo esercizio:
(Siano $G$ e $G'$ due basi di Groebner per I rispetto allo stesso monomial order in $K[x_1, ..., x_n]$.
Mostrare che $bar{f}^G=bar{f}^(G')$. )

Credo di averlo risolto, così:

$G$ base di Groebner => per ogni $f in K[x_1, ..., x_n] $esite un unico $g in I$ combinazione lineare dei polinomi di G e un unico reste $r$ tale che f= g+r

lo stesso vale per $G'$, dunque abbiamo anche f=g'+r'

Supponiamo r=r'

Allora $f-f = 0 = g-g' = r - r' $, giacché $g, g' in I$, $g-g'$ è in $I$. Questo implica che $r-r'$ è in I, ma questa è una contraddizione, dunque $r-r'=0$
=>$ r=r'$

Che ve ne pare?

[celeste4]

nessuno riesce a dare un occhio a quel che ho pensato per il secondo esercizio??