Due esercizi sui morfismi di gruppo

[Shocker1]

Buonasera


Vorrei sapere se il procedimento usato per risolvere i seguenti esercizi è giusto:

1)Quanti omomorfismi ci sono da $Z_6$ a $S_4$?

Allora i sottogruppi di $Z_6$ sono:
1)$H = {[0]_6}$
2)$K = {[0]_6, [3]_6}$
3)$S = {[0]_6, [2]_6, [4]_6}$
4)$Z_6$
per il primo teorema di omomorfismo sappiamo che se $f:Z_6 \to S_4$ è un morfismo di gruppi allora $\frac{Z_6}{Ker(f)} ~= Im(f)$ quindi dobbiamo cercare i sottogruppi di $S_4$ che hanno ordine rispettivamente: 6, 3, 2 e 1.
Se $Kerf = {[0]_6}$ non ci sono morfismi perché altrimenti $Z_6$, gruppo abeliano, sarebbe isomorfo ad $S_3 < S_4$($S_3$ dovrebbe essere l'unico sottogruppo di ordine $6$ in $S_4$).
Se $Kerf = {[0]_6, [3]_6}$ il sottogruppo di $S_4$ deve avere ordine tre, ora ci sono otto elementi di ordine 3 in $S_4$ e sono: $(123), (132), (124), (142), (143), (134), (243), (234)$ quindi dovrebbero esserci $8$ sottogruppi di ordine $3$ ma in realtà ce ne sono $4$ poiché, ad esempio, $(123)$ ed $(132)$ generano lo stesso sottogruppo. Dato che sono sottogruppi ciclici di ordine $3$ sono isomorfi a $Z_3$ e quindi in totale dovrei avere $2*4 = 8$ morfismi(escludendo il morfismo nullo), no?
Se $Kerf = {[0]_6, [2]_6, [4]_6$ allora ho $9$ gruppi di ordine $2$ infatti in $S_4$ ci sono 6 trasposizioni(che hanno ordine due e ognuna genera un gruppo ciclico unico di quest'ordine) e 3 permutazioni di ordine $2$ composte da due trasposizioni disgiunte, i nove gruppi sono isomorfi a $Z_2$ dunque, escludendo il morfismo nullo, ho $1*9 = 9$ morfismi.
Se $Kerf = { [0]_6}$ allora ho il morfismo nullo.
Quindi in totale ho $18$ morfismi, giusto?

2)Contare i morfismi $f:Z_6->Z_3 \times Z_9$

Stesso identico discorso, ho i soliti 4 sottogruppi di $Z_6$ e devo cercare i sottogruppi di ordine $1, 2, 3, 6$ di $Z_3 \times Z_9$, ora: l'ordine di $Z_3 \times Z_9$ è $27$ quindi non ci sono sottogruppi di ordine $2$ o $6$, il sottogruppo di ordine $1$ è banale ed identifica l'omomorfismo nullo. Quanti sono i sottogruppi di ordine $3$ di $Z_3 \times Z_9$? Se ho fatto bene i conti ho $8$ elementi di ordine $3$: $([0]_3, [3]_9), ([0]_3, [6]_9), ([1]_3, [0]_9), ([1]_3, [3]_9), ([1]_3, [6]_9), ([2]_3, [0]_9), ([2]_3, [3]_9), ([2]_3, [6]_9)$. In totale però ho $4$ sottogruppi isomorfi a $Z_3$ perché ciclici e quindi ho $2*4 = 8$ morfismi, escludendo quello nullo. Quindi in tutto ci sono $9$ morfismi.

Ora... mi sono accorto che se ho $8$ elementi di ordine $3$ allora ci sono $8$ morfismi anche se gli elementi generano sottogruppi uguali, è un caso? O è un fatto generale?
Cioè per contare i morfismi tra gruppi basta contare gli elementi di un certo ordine oppure bisogna sempre esaminare i vari sottogruppi da essi generati?

Spero di non aver sbagliato. Attendo vostre notizie, grazie!


Ciao

[Shocker1]

Up.

Nessuno?

[Shocker1]

up

[Martino]

Mi sembra tutto giusto.

Se in $G$ hai $k$ elementi di ordine $n$ allora il numero di morfismi iniettivi $f:C_n \to G$ è proprio $k$. Questo è perché $f$ è univocamente determinato dalla scelta dell'immagine di un generatore di $C_n$.

[Shocker1]

"Martino":Mi sembra tutto giusto.

Se in $G$ hai $k$ elementi di ordine $n$ allora il numero di morfismi iniettivi $f:C_n \to G$ è proprio $k$. Questo è perché $f$ è univocamente determinato dalla scelta dell'immagine di un generatore di $C_n$.

Grazie per la risposta!

Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$[nota]$9$ perché $Ker f = {(0,0)}$ poiché $f$ deve essere iniettivo[/nota] in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Giusto?


Ciao

[Martino]

"Shocker":Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$ in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Ciao quello che ho detto non si applica a questo caso perché $Z_3 xx Z_3$ non è un gruppo ciclico.

Dai un'occhiata qui, ci sono tre esercizi segnalati nella sezione "Contare gli omomorfismi tra gruppi".

[Shocker1]

"Martino":[quote="Shocker"]Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$ in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Ciao quello che ho detto non si applica a questo caso perché $Z_3 xx Z_3$ non è un gruppo ciclico.

Dai un'occhiata qui, ci sono tre esercizi segnalati nella sezione "Contare gli omomorfismi tra gruppi".[/quote]
Ciao
Grazie per la risposta!
In effetti ho letto troppo rapidamente ciò che mi hai scritto.
Ho letto i topic, tuttavia non riesco a determinare gli automorfismi di $Z_3 \times Z_3$.
A me ne escono $8$: $(0,0)$ viene mandato per forza in $(0, 0)$, $(1,0)$ può essere mandato in $(1,0), (2,0), (0,1), (0,2)$ quindi ho $4$ scelte, mentre $(1,0)$ può essere mandato solo in $2$ elementi quindi ho $8$ automorfismi.
E' corretto? Non sono molto fiducioso, non sono un bravo in combinatoria.
Hai qualche consiglio?
EDIT: rivedendo i calcoli forse ho tralasciato gli altri $4$ elementi di ordine $3$ quindi avrei $8*4 = 32$ morfismi?
Perdona la confusione, non è proprio giornata!

Grazie per la pazienza!

Ciao

[Martino]

Gli automorfismi di $Z_p^n$ sono $Z_p$-lineari (perché ogni elemento di $Z_p$ è una somma di uni), quindi li puoi mettere in corrispondenza esatta con le matrici $n xx n$ invertibili a entrate nel campo $Z_p$. Il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili a entrate in $Z_p$ si indica con $GL(n,p)$. L'ordine di questo gruppo è ben noto, si tratta di $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ (scegli la prima colonna non nulla, la seconda linearmente indipendente dalla prima, la terza linearmente indipendente dalle prime due, e così via). Nel tuo caso $n=2$ e $p=3$ quindi hai $(3^2-1)(3^2-3) = 48$ automorfismi.

[Shocker1]

"Martino":Gli automorfismi di $Z_p^n$ sono $Z_p$-lineari (perché ogni elemento di $Z_p$ è una somma di uni), quindi li puoi mettere in corrispondenza esatta con le matrici $n xx n$ invertibili a entrate nel campo $Z_p$. Il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili a entrate in $Z_p$ si indica con $GL(n,p)$. L'ordine di questo gruppo è ben noto, si tratta di $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ (scegli la prima colonna non nulla, la seconda linearmente indipendente dalla prima, la terza linearmente indipendente dalle prime due, e così via). Nel tuo caso $n=2$ e $p=3$ quindi hai $(3^2-1)(3^2-3) = 48$ automorfismi.

Ciao

Questa sì che è una cosa carina!
Penso che la vedrò l'anno prossimo, quest'anno(corso di aritmetica) non abbiamo affrontato il gruppo lineare generale, ci siamo concentrati più su $Z_m, S_n$ e i loro prodotti(in modo molto molto generale, nessun teorema "potente" giusto i rudimenti).

Grazie mille! Mi hai aperto un mondo

Tornando all'esercizio: esiste un solo sottogruppo di ordine $9$ di $S_3 \times Z_15$ che è $A_3 \times Z_3 ~= Z_3 \times Z_3$ quindi ho $48$ morfismi iniettivi, giusto?

Ciao

[Martino]

Giusto!

[Shocker1]

Evviva, GRAZIE MILLE!