Due domande: Caratteristica di un dominio di integrità / Consiglio su Sylow.
Salve, nel mio ripassino di algebra ho incontrato due piccoli dubbi.
1) Esercizio: verificare che se la caratteristica di un dominio di integrità è p, allora p è primo.
Avevo già risolto l'esercizio durante la prima fase di studio, forse basandomi su cose sentite a lezione o forse da me non capite bene, come segue:
[ supponiamo per assurdo $p=xy$, ovviam fattori non banali. Per definizione $charD=p=min{ninZZ,n>0, t.c. AAainD, na=0}$ quindi $p=(xy)a=0$. Poichè sono in un dominio di integrità, non posso avere divisori di zero, perciò per forza avrò $xa=0$ v $ya=0$, assurdo per la minimalità di p]
Ripensandoci oggi mi sembra imprecisa (o di più, errata come dimostrazione) perchè è vero che sono in un dominio di integrità, ma non ho un prodotto $(xa)(ya)=0$ e in più l'operazione $pa=(xy)a$ non è la moltiplicazione di $D$ ma un'operazione $NNxxD->D$
Bisogna quindi dire (ci provo): $pa=xay=0 rArr x(ay)=(xa)y=0 rArr ay=0 vv xa=0$, falsa per la minimalità di $p$ che rende false sia $xa=0$ che $ya=0$. Può andare?
2) Devo studiare i teoremi di Sylow, ho provato a studiare il primo teorema di Sylow (solo l'enunciato e le tre dimostrazioni che propone il libro di Herstein). Non mi sembrano molto chiare, pur avendo studiato bene tutta la teoria precedente e fatto quasi tutti gli esercizi.
Capisco esattamente cosa sta facendo, ad es. quando usa il calcolo combinatorio e quando il teorema di Cayley o i laterali doppi.. mi sembra proprio contorta l'impalcatura della dimostrazione, che mi rende difficile averla ben chiara in testa dall'inizio alla fine, al di là di aver capito ogni singolo passaggio. A una prima lettura, ho chiari i singoli passaggi, salvo un paio di dubbi, e l'idea generale di fondo.
Conscio che sia molto soggettivo, mi conviene dedicare un paio di giorni a capire pazientemente e memorizzare le dimostrazioni proposte da Herstein, oppure prendo un altro libro?
1) Esercizio: verificare che se la caratteristica di un dominio di integrità è p, allora p è primo.
Avevo già risolto l'esercizio durante la prima fase di studio, forse basandomi su cose sentite a lezione o forse da me non capite bene, come segue:
[ supponiamo per assurdo $p=xy$, ovviam fattori non banali. Per definizione $charD=p=min{ninZZ,n>0, t.c. AAainD, na=0}$ quindi $p=(xy)a=0$. Poichè sono in un dominio di integrità, non posso avere divisori di zero, perciò per forza avrò $xa=0$ v $ya=0$, assurdo per la minimalità di p]
Ripensandoci oggi mi sembra imprecisa (o di più, errata come dimostrazione) perchè è vero che sono in un dominio di integrità, ma non ho un prodotto $(xa)(ya)=0$ e in più l'operazione $pa=(xy)a$ non è la moltiplicazione di $D$ ma un'operazione $NNxxD->D$
Bisogna quindi dire (ci provo): $pa=xay=0 rArr x(ay)=(xa)y=0 rArr ay=0 vv xa=0$, falsa per la minimalità di $p$ che rende false sia $xa=0$ che $ya=0$. Può andare?
2) Devo studiare i teoremi di Sylow, ho provato a studiare il primo teorema di Sylow (solo l'enunciato e le tre dimostrazioni che propone il libro di Herstein). Non mi sembrano molto chiare, pur avendo studiato bene tutta la teoria precedente e fatto quasi tutti gli esercizi.
Capisco esattamente cosa sta facendo, ad es. quando usa il calcolo combinatorio e quando il teorema di Cayley o i laterali doppi.. mi sembra proprio contorta l'impalcatura della dimostrazione, che mi rende difficile averla ben chiara in testa dall'inizio alla fine, al di là di aver capito ogni singolo passaggio. A una prima lettura, ho chiari i singoli passaggi, salvo un paio di dubbi, e l'idea generale di fondo.
Conscio che sia molto soggettivo, mi conviene dedicare un paio di giorni a capire pazientemente e memorizzare le dimostrazioni proposte da Herstein, oppure prendo un altro libro?
Risposte
1. E' molto più semplice: se fosse $p=xy$ allora siccome $p=0$ e sei in un dominio di integrità, uno tra $x$ e $y$ è zero, e questo contraddice la minimalità di $p$.
2. Il libro di Herstein non è l'ideale per studiare la teoria la prima volta, ti consiglio di usare il libro di Nathan Jacobson (Basic Algebra 1). Dai anche un'occhiata qui, dove ero intervenuto anche io.
2. Il libro di Herstein non è l'ideale per studiare la teoria la prima volta, ti consiglio di usare il libro di Nathan Jacobson (Basic Algebra 1). Dai anche un'occhiata qui, dove ero intervenuto anche io.
1. Non ho capito, dicendo $p=0$, intendi che, in particolare, per $a=1, pa=0$, cioè $p1=p=xy=0$ e, poiché $ZZ$ è un dominio d'integrità, devo avere $x=0 vv y=0$. E quindi ...? non capisco.
(Ps, faccio notare che, dopo la def. di $charD$, nel mio precedente intervento, ho scritto erroneamente $p=...=0$ invece che $pa=..=0$)
2. Lo sospettavo. Grazie per la dritta.
(Ps, faccio notare che, dopo la def. di $charD$, nel mio precedente intervento, ho scritto erroneamente $p=...=0$ invece che $pa=..=0$)
2. Lo sospettavo. Grazie per la dritta.
"Gary_Baldi":E quindi $p$ non è il minimo intero con la proprietà che $p=0$ (perché $x$ e $y$ sono minori di $p$), contraddizione
devo avere $x=0 vv y=0$. E quindi ...? non capisco.
Guarda te lo scrivo in modo più formale.
Dato $A$ un anello (con unità) e $n$ un intero positivo, se $a in A$ definiamo $an$ come la somma di $a+a+...+a$ dove ci sono $n$ addendi. Possiamo definire $an$ quando $n$ è negativo come $-((-a)+(-a)+...+(-a))$ dove ci sono $-n$ addendi, e $a0=0$. Quindi abbiamo definito $an$ per ogni $n$ intero. In particolare $1n=1+1+...+1$ ($n$ addendi).
Osservazione. Se $n$ è un intero sono equivalenti:
(1) $1n=0$
(2) $an=0$ per ogni $a in A$.
E' ovvio che (2) implica (1) (basta scegliere $a=1$), ora se vale (1) allora supponi $n$ positivo, se $a in A$ allora $an = a+a+...+a = (1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$, se invece $n$ è negativo allora $an = -((-a)+(-a)+...+(-a)) =-((-1)+(-1)+...+(-1))a=(1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$.
Quindi la caratteristica di un anello unitario $A$ è il minimo $n$ tale che $1n=0$ (dove $1n=1+1+...+1$, dove gli $n$ addendi a destra sono l'unità dell'anello $A$).
Ora se $n$ è un prodotto $xy$ allora $1n=0$ si può scrivere come $1xy=0$ cioè $(1x)(1y)=0$. Se $A$ è un dominio questo implica che uno tra $1x$ e $1y$ è zero. Siccome $x$ e $y$ sono minori di $n$, se $n$ è il minimo intero positivo tale che $1n=0$ allora deve essere primo.
Dato $A$ un anello (con unità) e $n$ un intero positivo, se $a in A$ definiamo $an$ come la somma di $a+a+...+a$ dove ci sono $n$ addendi. Possiamo definire $an$ quando $n$ è negativo come $-((-a)+(-a)+...+(-a))$ dove ci sono $-n$ addendi, e $a0=0$. Quindi abbiamo definito $an$ per ogni $n$ intero. In particolare $1n=1+1+...+1$ ($n$ addendi).
Osservazione. Se $n$ è un intero sono equivalenti:
(1) $1n=0$
(2) $an=0$ per ogni $a in A$.
E' ovvio che (2) implica (1) (basta scegliere $a=1$), ora se vale (1) allora supponi $n$ positivo, se $a in A$ allora $an = a+a+...+a = (1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$, se invece $n$ è negativo allora $an = -((-a)+(-a)+...+(-a)) =-((-1)+(-1)+...+(-1))a=(1+1+...+1)a=(1n)a=0a=0$.
Quindi la caratteristica di un anello unitario $A$ è il minimo $n$ tale che $1n=0$ (dove $1n=1+1+...+1$, dove gli $n$ addendi a destra sono l'unità dell'anello $A$).
Ora se $n$ è un prodotto $xy$ allora $1n=0$ si può scrivere come $1xy=0$ cioè $(1x)(1y)=0$. Se $A$ è un dominio questo implica che uno tra $1x$ e $1y$ è zero. Siccome $x$ e $y$ sono minori di $n$, se $n$ è il minimo intero positivo tale che $1n=0$ allora deve essere primo.
Ah ok, ora ho capito. Forse il modo più rigoroso per dirlo è:
$p1=0 rArr (xy)1=0 rArr (x1)(y1)=0 rArr x1=0vvy1=0$, assurde entrambe le possibilità per la minimalità di $p$.
Anche se comunque non riesco a capire fino in fondo l'uguaglianza $ (xy)1=(x1)(y1) $
La cosa che mi perplime è che, è che $x$ è un elemento di $ZZ$ mentre $x1$ è un elemento di $D$ cioè del dominio di integrità generico che sto considerando. Quindi non posso scrivere $x=x1$. e ci vuole qualche premessa prima di dire $(xy)1=(x1)(y1)$... tipo? xD
$p1=0 rArr (xy)1=0 rArr (x1)(y1)=0 rArr x1=0vvy1=0$, assurde entrambe le possibilità per la minimalità di $p$.
Anche se comunque non riesco a capire fino in fondo l'uguaglianza $ (xy)1=(x1)(y1) $
La cosa che mi perplime è che, è che $x$ è un elemento di $ZZ$ mentre $x1$ è un elemento di $D$ cioè del dominio di integrità generico che sto considerando. Quindi non posso scrivere $x=x1$. e ci vuole qualche premessa prima di dire $(xy)1=(x1)(y1)$... tipo? xD
E' semplicemente la proprietà distributiva.
[tex]\sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1,j=1}^{i=n,j=m} a_ib_j[/tex]
Applicalo a $a_i=b_j=1$ per ogni $i,j$. Osserva che in questo caso $a_ib_j = 1*1 = 1$.
[tex]\sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1,j=1}^{i=n,j=m} a_ib_j[/tex]
Applicalo a $a_i=b_j=1$ per ogni $i,j$. Osserva che in questo caso $a_ib_j = 1*1 = 1$.
"Martino":
E' semplicemente la proprietà distributiva.
[tex]\sum_{i=1}^n a_i \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{i=1,j=1}^{i=n,j=m} a_ib_j[/tex]
Applicalo a $a_i=b_j=1$ per ogni $i,j$. Osserva che in questo caso $a_ib_j = 1*1 = 1$.
Ah ok, è vero. Ho risolto il mio dubbio. Grazie.
Dato un anello commutativo $R$, esiste un unico omomorfismo di anelli \(\eta : \mathbb Z \to R\): ne esiste uno che manda $1_{ZZ}$ in $1_R$, e il fatto che sia un omomorfismo implica che manda $n$ in $1_R+...+1_R$. Se ne esiste un altro, anche lui manda $1_ZZ$ in $1_R$, e allora coincide con $\eta$.
La caratteristica di $R$ è il (generatore del) nucleo di $\eta$: ora, se $R$ è integro, $(0)$ è un ideale primo in $R$, quindi \(\eta^\leftarrow(0)\) deve essere un ideale primo in $ZZ$. Quindi, deve essere generato da un elemento $p$, che è primo.
La caratteristica di $R$ è il (generatore del) nucleo di $\eta$: ora, se $R$ è integro, $(0)$ è un ideale primo in $R$, quindi \(\eta^\leftarrow(0)\) deve essere un ideale primo in $ZZ$. Quindi, deve essere generato da un elemento $p$, che è primo.
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