Due dimostrazioni banali (de Morgan)
Ciao 
Vorrei chiedere una mano per capire un errore su un paio di dimostrazioni abbastanza basilari (seconda lezione seguita del corso).
Vorrei dimostrare per gli insiemi che con -$:=$ \ insiemistico.
1) $A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)$
2) $A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)$
Ho provato in questi due modi,ma non sono certo della correttezza
1) La prima mi sembra tornare:
Ricordando la differenza insiemistica: $G-H={x|x inG∧¬x inH}$ (**)
$F:=(B∩C)={x|x inB∧x inC}$ quindi $x inF$ se e solo se $x inB∧x inC$
Ora: $x in(A-F)$ sono le x che rispettano la legge: $x inA∧¬x inF$ quindi $x inA∧¬(x inB∧x inC)$ da cui, per De Morgan
$x inA∧(¬x inB∨¬x inC)$ distributività dell'operatore logico $(x inA∧¬x inB)∨(x inA∧¬x inC)$ ossia "traducendo" per definizione di differenza insiemistica (**): $(x in(A-B))∨(x in(A-C))$ e per definizione di unione insiemistica come x che
stanno in A-B or A-C si ha $(A-B)∪(A-C)$ cvd.
2) Per il 2 ho però un problemone e il vero dubbio:
$F:=(B∪C)={x|x inB∨x inC}$ quindi $x inF$ se e solo se $x inB∨x inC$ in modo analogo a prima
Ora: $x in(A-F)$ sono le x che rispettano la legge: $x inA∧¬x inF$ quindi $x inA∧¬(x inB∨x inC)$ da cui, per De Morgan: $x inA∧(¬x inB∧¬x inC)$ ma qui non vale la distributività, al massimo potrei usare la associatività e riscrivere $(x inA∧¬x inB)∧¬x inC$ ma non è per nulla i risultato voluto.
Potrei gentilmente chiedervi una mano? Spero di capire dove sbaglio
[EDIT 16.59]
Credo di aver risolto il dubbio aggiungendo una copia di x in A al termine ossia: $x inA∧¬x inB∧¬x inC <=> x inA∧¬x inB∧inA∧ ¬x inC$ il che conclude.
Vorrei chiedere una mano per capire un errore su un paio di dimostrazioni abbastanza basilari (seconda lezione seguita del corso).
Vorrei dimostrare per gli insiemi che con -$:=$ \ insiemistico.
1) $A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)$
2) $A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)$
Ho provato in questi due modi,ma non sono certo della correttezza
1) La prima mi sembra tornare:
Ricordando la differenza insiemistica: $G-H={x|x inG∧¬x inH}$ (**)
$F:=(B∩C)={x|x inB∧x inC}$ quindi $x inF$ se e solo se $x inB∧x inC$
Ora: $x in(A-F)$ sono le x che rispettano la legge: $x inA∧¬x inF$ quindi $x inA∧¬(x inB∧x inC)$ da cui, per De Morgan
$x inA∧(¬x inB∨¬x inC)$ distributività dell'operatore logico $(x inA∧¬x inB)∨(x inA∧¬x inC)$ ossia "traducendo" per definizione di differenza insiemistica (**): $(x in(A-B))∨(x in(A-C))$ e per definizione di unione insiemistica come x che
stanno in A-B or A-C si ha $(A-B)∪(A-C)$ cvd.
2) Per il 2 ho però un problemone e il vero dubbio:
$F:=(B∪C)={x|x inB∨x inC}$ quindi $x inF$ se e solo se $x inB∨x inC$ in modo analogo a prima
Ora: $x in(A-F)$ sono le x che rispettano la legge: $x inA∧¬x inF$ quindi $x inA∧¬(x inB∨x inC)$ da cui, per De Morgan: $x inA∧(¬x inB∧¬x inC)$ ma qui non vale la distributività, al massimo potrei usare la associatività e riscrivere $(x inA∧¬x inB)∧¬x inC$ ma non è per nulla i risultato voluto.
Potrei gentilmente chiedervi una mano? Spero di capire dove sbaglio
[EDIT 16.59]
Credo di aver risolto il dubbio aggiungendo una copia di x in A al termine ossia: $x inA∧¬x inB∧¬x inC <=> x inA∧¬x inB∧inA∧ ¬x inC$ il che conclude.
Risposte
Corretto.
Solo alcune annotazioni.
1) La non appartenenza di un elemento ad un insieme la puoi anche indicare con \( \notin \), anche per alleggerire la notazione e la lettura.
2) Aggiungere una copia di \( x \in A \) è possibile per via di quella che è la legge di idempotenza della congiunzione: \( p \land p \equiv p \). Vale anche per la disgiunzione. Tecnicamente la copia di \( x \in A \) viene introdotta di fianco al primo \( x \in A \) e poi si sposta verso destra prima di \( x \notin C \) per commutatività ed associatività.
3) Le dimostrazioni sono corrette però attenzione ad una cosa, che non so se ti è stata detta esplicitamente a lezione: volendo provare una uguaglianza tra insiemi di solito si dimostra che vale prima l'inclusione verso sinistra e poi verso destra. In questo caso non è necessario perché i passaggi che hai fatto valgono sia in un verso che nell'altro, sono cioè legati tra loro da \( \leftrightarrow \) e non semplicemente da \( \to \).
Solo alcune annotazioni.
1) La non appartenenza di un elemento ad un insieme la puoi anche indicare con \( \notin \), anche per alleggerire la notazione e la lettura.
2) Aggiungere una copia di \( x \in A \) è possibile per via di quella che è la legge di idempotenza della congiunzione: \( p \land p \equiv p \). Vale anche per la disgiunzione. Tecnicamente la copia di \( x \in A \) viene introdotta di fianco al primo \( x \in A \) e poi si sposta verso destra prima di \( x \notin C \) per commutatività ed associatività.
3) Le dimostrazioni sono corrette però attenzione ad una cosa, che non so se ti è stata detta esplicitamente a lezione: volendo provare una uguaglianza tra insiemi di solito si dimostra che vale prima l'inclusione verso sinistra e poi verso destra. In questo caso non è necessario perché i passaggi che hai fatto valgono sia in un verso che nell'altro, sono cioè legati tra loro da \( \leftrightarrow \) e non semplicemente da \( \to \).
Grazie mille per le spiegazioni. Mi tornano tutte le tue annotazioni, ti ringrazio molto per le dritte e le correzioni chiare. Per quanto invece riguarda $∉$ non sapevo scriverlo sul sito 
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