Dubbio sull'unione degli insiemi

[S_A1]

Salve a tutti, sembra impossibile che si possa avere dubbi su una operazione così chiara ma tant'è....

ho l'insieme numerico A costituito da un solo elemento, il numero 1.
A = { {1} } ;
chiamo sA il sottoinsieme di A
sA = { {1} } ;

considero un altro insieme B
B = { {1} } ;

Posso distinguere in qualche modo sA da B? Non vedo come.

Risulta che A U sA = { {1} } ; (perchè sA è un sottoinsieme di A)
La domanda è:
è corretto A U B = { {1}} (come nel caso precedente, visto che sA e B sono uguali)
oppure
A U B = { {1},{1} } ? (in pratica ho fatto un'addizione, 1 mela + 1 mela nel paniere )
Qualcuno obbietterà che A e B non sono disgiunti e quindi il secondo A U B è errato ma questo significherebbe
che non è possibile calcolare 1+1 ?
Per favore non rispondetemi " bisogna considerare il punto dell'induzione transfinita..."

[killing_buddha]

Quello che dici tradisce una evidente confusione su come funzionino le operazioni insiemistiche, e in effetti una confusione piuttosto marcata su cosa dovrebbero rappresentare, nella matematica, gli insiemi. Comunque

Posso distinguere in qualche modo sA da B?

la risposta e' no: il valore (cioè, il funzionamento) della relazione di uguaglianza in ZF deriva dalla logica (infinitaria del prim'ordine o proposizionale) in cui andiamo a formulare gli assiomi della teoria. L'assioma di estensionalità e' quello che garantisce che due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi e se e solo se sono contenuti esattamente dagli stessi insiemi (cioè, sono elementi degli stessi insiemi).

[garnak.olegovitc1]

@S_A,
- Usa sin da subito la codifica per formule matematiche

"S_A":Salve a tutti, sembra impossibile che si possa avere dubbi su una operazione così chiara ma tant'è....
ho l'insieme numerico A costituito da un solo elemento, il numero 1.
A = { {1} } ;

sei sicuro che l'elemento di \( A \) è il numero \(1 \)? A me sembra chiaramente che \( 1 \notin A \) e piuttosto \( \{1\}\in A \)

"S_A":
chiamo sA il sottoinsieme di A
sA = { {1} } ;
considero un altro insieme B
B = { {1} } ;
Posso distinguere in qualche modo sA da B? Non vedo come.

sarei curioso di sapere che intendi per "distinguere"? Dall'assioma di estensionalità (cioè anche dalla classica definizione di uguaglianza tra insiemi) noterai che \( sA=B\)..

"S_A":Risulta che A U sA = { {1} } ; (perchè sA è un sottoinsieme di A)
La domanda è:
è corretto A U B = { {1}} (come nel caso precedente, visto che sA e B sono uguali)
oppure
A U B = { {1},{1} } ? (in pratica ho fatto un'addizione, 1 mela + 1 mela nel paniere )

non ragionare con le mele nel paniere .. e sia giusto scrivere \( A \cup B =\{\{1\}\}\) che \( A \cup B =\{\{1\},\{1\}\}\) perchè tanto dall'uguaglianza insiemistica avrai che \(\{\{1\}\}=\{\{1\},\{1\}\}\), da qui si dice anche intuitivamente "che la ripetizione degli elementi di un insieme non conta"

"S_A":
Qualcuno obbietterà che A e B non sono disgiunti e quindi il secondo A U B è errato ma questo significherebbe
che non è possibile calcolare 1+1 ?
Per favore non rispondetemi " bisogna considerare il punto dell'induzione transfinita..."

si ok non sono disgiunti, ma come detto prima il secondo \( A \cup B \) è anche corretto... bhè non capisco il fatto del calcolo \( 1+1\) e quale sarebbe il legame con l'induzione transfinita!
Saluti

P.S.=L'unione tra due insiemi \(c \) e \( d \) è definita come l'insieme \( \{x|x\in c \vee x \in d\}\), ricordati anche che il predicato binario \( ... \in ... \) è intuitivo!

[S_A1]

"garnak.olegovitc":@S_A,
e sia giusto scrivere \( A \cup B =\{\{1\}\}\) che \( A \cup B =\{\{1\},\{1\}\}\) perchè tanto dall'uguaglianza insiemistica avrai che \(\{\{1\}\}=\{\{1\},\{1\}\}\), da qui si dice anche intuitivamente "che la ripetizione degli elementi di un insieme non conta"


P.S.=L'unione tra due insiemi \(c \) e \( d \) è definita come l'insieme \( \{x|x\in c \vee x \in d\}\), ricordati anche che il predicato binario \( ... \in ... \) è intuitivo!

Grazie per la risposta, per chiarire il senso della mia domanda questa è stata posta per cercare di capire
se era possibile definire le regole per il calcolo delle operazioni (in questo caso l'addizione) per
via insiemistica e la risposta che entrambi i modi sono corretti perchè si riducono ad essere identici
sembra precludere questa possibilità, almeno usando l'unione tra insiemi.

Resta da vedere se sia possibile ricavare queste regole per il calcolo delle operazioni dagli assiomi
che valgono per gli insiemi universo (per es. R)
o dalla definizione delle proprietà di dette operazioni.
Per la verità, a me sembra che sia difficile riuscire a costruire anche solo N
senza saper calcolare l'addizione in quanto la funzione successore che ne determina
anche l'ordinamento non è che una addizione.

Ps: il riferimento all'induzione transfinita era solo una battuta
citata perchè a volte si ha la sensazione che trovandosi davanti ad ostacoli
qualcuno tenda a svicolare passando ad un sistema più esteso per dimostrare con
nuove regole ciò che non era possibile dimostrare nel precedente, senza una vera
necessità, cioè senza una dimostrazione che il teorema non appartenga al sistema

[garnak.olegovitc1]

@S_A,

"S_A":
Grazie per la risposta, per chiarire il senso della mia domanda questa è stata posta per cercare di capire
se era possibile definire le regole per il calcolo delle operazioni (in questo caso l'addizione) per
via insiemistica e la risposta che entrambi i modi sono corretti perchè si riducono ad essere identici
sembra precludere questa possibilità, almeno usando l'unione tra insiemi.
Resta da vedere se sia possibile ricavare queste regole per il calcolo delle operazioni dagli assiomi
che valgono per gli insiemi universo (per es. R)
o dalla definizione delle proprietà di dette operazioni.
Per la verità, a me sembra che sia difficile riuscire a costruire anche solo N
senza saper calcolare l'addizione in quanto la funzione successore che ne determina
anche l'ordinamento non è che una addizione.

un attimo, spero di avere capito bene... puoi definire \(\Bbb{N}\) e le sue operazioni, e il suo ordinamento, tranquillamente per via insiemistica (usando l'unione e l'inclusione (molti usano la sola appartenenza al posto dell'inclusione)... guarda nel link seguente[nota]ricordo anche che il Pagani-Salsa presenta benino l'insieme dei naturali per via insiemistica[/nota]:

http://math.stackexchange.com/questions/68659/set-theoretic-construction-of-the-natural-numbers

e partendo dai naturali puoi costruirti tutti gli altri insiemi e le loro operazioni sempre per via insiemistica, guarda nel seguente link:

http://math.stackexchange.com/questions/14828/set-theoretic-definition-of-numbers

Saluti

P.S.=Se hai intenzione di studiare i numeri per via insiemistica permettimi di consigliarti le seguenti slides :

-per i numeri naturali: http://tavernini.com/arc/foundations04.pdf
-per i numeri interi, e razionali: http://tavernini.com/arc/foundations06.pdf
-per i numeri reali: http://tavernini.com/arc/foundations08.pdf

Buono studio!

[S_A1]

Grazie per i link, in particolare il primo di Tavernini spiega ciò che non avevo compreso e
cioè che se si vuole costruire un insieme numerico basandosi solo sugli insiemi si deve completamente
eliminare qualsiasi riferimento ad una nozione intuitiva di numero ( quantità o posizione) usando
addirittura solo l'insieme vuoto. Eccellente.

[garnak.olegovitc1]

@S_A,

"S_A":Grazie per i link, in particolare il primo di Tavernini spiega ciò che non avevo compreso e
cioè che se si vuole costruire un insieme numerico basandosi solo sugli insiemi si deve completamente
eliminare qualsiasi riferimento ad una nozione intuitiva di numero ( quantità o posizione) usando
addirittura solo l'insieme vuoto. Eccellente.

quegli appunti li ho scoperti quasi per caso quando cercavo di definire \( \Bbb{R}\) insiemisticamente con le sezioni di Dedekind costruite su \( \Bbb{Q}\); e si, hai ragione... devi liberarti da tutte le nozioni usuali che hai di numero e operazione (ma non dimenticarle, ti possono aiutare a comprendere alcune proprietà ad un livello più intuitivo)... io ormai non uso più queste definizioni, tempo fa mi ero imbarcato solo per curiosità (nel capire quanto fondazionale/riduzionistica potesse essere la teoria degli insiemi)..
Saluti