Dubbio sulle relazioni binarie e le loro proprietà
Salve a tutti ^___^
studiando le relazioni binarie e svolgendo un esercizio mi sono venuti dei grossi dubbi!
L'esercizio è
Dato un insieme S costituito dagli elementi {a,b,c,d} definire una relazione simmetrica,transitiva ma non riflessiva
Insieme al professore abbiamo creato il grafico
G={ (c,d),(d,c),(d,b),(b,d),(b,c),(c,b),(c,c) ,(d,d),(b,b)}
e abbiamo specificato che la coppia (a,c) non può essere aggiunta in G altrimenti dovremmo scrivere anche (a,a) e sarebbe riflessiva
Ora io ragionando da sola ho capito questo
è transitiva perchè
cRd dRc cRc (ricordando la definizione(xRy, yRz, xRz) il prof ha detto che le "variabili" x,y,z e possono anche anche essere uguali quindi se x=z non fa niente)
dRb bRd bRb
bRc cRb bRb
è simmetrica perchè
cRd dRc
dRb bRd
cRb bRc
Quindi(sempre secondo quello che ho capito io) anche se non si usano tutte le lettere di S non fa niente, ho preso le lettere c,b,d e ho creato delle coppie in modo tale da soddisfare le richieste dell'esercizio
Fin qui tutto chiaro poi mi è sorto un dubbio!
La coppia (a,a) manca quindi non può essere riflessiva! Ma la lettera a manca in generale in G, io non l'ho usata eppure posso dire lo stesso che vale la transitività e la simmetria!!
Come mai? se volessi considerare solo le lettere di G avrei le coppie (c,c) ,(d,d),(b,b) e non sarebbe riflessiva?
... che casino....
forse non ho capito bene le proprietà
poi un mio amico ha detto che si poteva semplicemente prendere la coppia G={ (a,a)} e avremmo risolto l'esercizio ugualmente
aveva ragione?
grazie a tutti
studiando le relazioni binarie e svolgendo un esercizio mi sono venuti dei grossi dubbi!
L'esercizio è
Dato un insieme S costituito dagli elementi {a,b,c,d} definire una relazione simmetrica,transitiva ma non riflessiva
Insieme al professore abbiamo creato il grafico
G={ (c,d),(d,c),(d,b),(b,d),(b,c),(c,b),(c,c) ,(d,d),(b,b)}
e abbiamo specificato che la coppia (a,c) non può essere aggiunta in G altrimenti dovremmo scrivere anche (a,a) e sarebbe riflessiva
Ora io ragionando da sola ho capito questo
è transitiva perchè
cRd dRc cRc (ricordando la definizione(xRy, yRz, xRz) il prof ha detto che le "variabili" x,y,z e possono anche anche essere uguali quindi se x=z non fa niente)
dRb bRd bRb
bRc cRb bRb
è simmetrica perchè
cRd dRc
dRb bRd
cRb bRc
Quindi(sempre secondo quello che ho capito io) anche se non si usano tutte le lettere di S non fa niente, ho preso le lettere c,b,d e ho creato delle coppie in modo tale da soddisfare le richieste dell'esercizio
Fin qui tutto chiaro poi mi è sorto un dubbio!
La coppia (a,a) manca quindi non può essere riflessiva! Ma la lettera a manca in generale in G, io non l'ho usata eppure posso dire lo stesso che vale la transitività e la simmetria!!
Come mai? se volessi considerare solo le lettere di G avrei le coppie (c,c) ,(d,d),(b,b) e non sarebbe riflessiva?
... che casino....
forse non ho capito bene le proprietà
poi un mio amico ha detto che si poteva semplicemente prendere la coppia G={ (a,a)} e avremmo risolto l'esercizio ugualmente
aveva ragione?
grazie a tutti
Risposte
la proprietà transitiva (ad esempio) dice:
$\forall x,y,z\inS$ SE ($xRy$ e $yRz$)$=>$ $xRz$
quel "se" è fondamentale, ed è la cosa che ti crea dei dubbi.
La proprietà dice che a partire da quell'ipotesi si deve arrivare alla tesi, ma se l'ipotesi non cè non dice niente!
Non so se mi sono espresso bene... ok?
$\forall x,y,z\inS$ SE ($xRy$ e $yRz$)$=>$ $xRz$
quel "se" è fondamentale, ed è la cosa che ti crea dei dubbi.
La proprietà dice che a partire da quell'ipotesi si deve arrivare alla tesi, ma se l'ipotesi non cè non dice niente!
Non so se mi sono espresso bene... ok?
Fox sarò bacata io ma non ho compreso 
e in più mi è sorto un altro dubbio, però penso che sia quello la causa...
quando in una definizione c'è scritto
∀ x ∈ S se xRx allora è riflessiva
le x appartententi ad S sono gli elementi in sè(a,b,c,d) oppure le x delle coppie che io formo(a,b),(b,c) etc?
e in più mi è sorto un altro dubbio, però penso che sia quello la causa...
quando in una definizione c'è scritto
∀ x ∈ S se xRx allora è riflessiva
le x appartententi ad S sono gli elementi in sè(a,b,c,d) oppure le x delle coppie che io formo(a,b),(b,c) etc?
Dato $S={a,b,c,d}$
questa è sbagliata...
In questo modo stai dicendo che ad esempio $G={ (c,d),(d,c),(d,d)}$ è riflessiva
perchè hai detto $\forall x\in S$ vale: (se $xRx$ $=>$ $R$ è riflessiva)
allora prendiamo $d\inS$ e si vede che $dRd$ allora secondo la tua affermazione dovremmo concludere che $R$ è riflessiva!!!
Attenta all'ordine delle affermazioni, quella giusta è:
SE ($\forall x\inS \ \ xRx) =>$ $R$ è riflessiva
dove $S$ è .... $S$!!! :p
P.S. fai attenzione alle parentesi che ho messo qua e la
P.P.S. usa MathML per scrivere le formule, trovi tutte le indicazioni nel forum
"Rei":
∀ x ∈ S se xRx allora è riflessiva
questa è sbagliata...
In questo modo stai dicendo che ad esempio $G={ (c,d),(d,c),(d,d)}$ è riflessiva
perchè hai detto $\forall x\in S$ vale: (se $xRx$ $=>$ $R$ è riflessiva)
allora prendiamo $d\inS$ e si vede che $dRd$ allora secondo la tua affermazione dovremmo concludere che $R$ è riflessiva!!!
Attenta all'ordine delle affermazioni, quella giusta è:
SE ($\forall x\inS \ \ xRx) =>$ $R$ è riflessiva
dove $S$ è .... $S$!!! :p
P.S. fai attenzione alle parentesi che ho messo qua e la
P.P.S. usa MathML per scrivere le formule, trovi tutte le indicazioni nel forum
Credo proprio di aver capito
quel "se" era fondamentale!!
l'esempio del mio amico
$G={(a,a)}$ è corretto perchè
Non è riflessiva in quanto per ogni x dell'insieme S non si verifica che x sia in relazione con se stesso
È transitiva perchè per tutte le mie 3 variabili x,y,z(che in questo caso sono uguali), le ipotesi soddisfano la tesi
ed è simmetrica per lo stesso motivo...
insomma avevo trascurato un "se" che alla fine cambiava tutto
credo di aver interpretato la transitività così
$Se$ $AA$ $x$ $in$ S $=>$ xRy, yRz e xRz$
e ovviamente non ci capivo NIENTE...
grazie mille per l'aiuto!
ora svolgerò comunque altri esercizi per vedere se ho davvero le idee chiare
quel "se" era fondamentale!!
l'esempio del mio amico
$G={(a,a)}$ è corretto perchè
Non è riflessiva in quanto per ogni x dell'insieme S non si verifica che x sia in relazione con se stesso
È transitiva perchè per tutte le mie 3 variabili x,y,z(che in questo caso sono uguali), le ipotesi soddisfano la tesi
ed è simmetrica per lo stesso motivo...
insomma avevo trascurato un "se" che alla fine cambiava tutto
credo di aver interpretato la transitività così
$Se$ $AA$ $x$ $in$ S $=>$ xRy, yRz e xRz$
e ovviamente non ci capivo NIENTE...
grazie mille per l'aiuto!
ora svolgerò comunque altri esercizi per vedere se ho davvero le idee chiare
no, non ho ancora capito...
avrò dei seri problemi nell'interpretazione delle definizioni
se prendo lo stesso insieme S e voglio creare una relazione simmetrica, riflessiva ma non transitiva
il libro porta questa soluzione
$G={ (a,a), (b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}
aRb
bRa
aRa
bRc
cRb
bRb
e non è transitiva?
mi sto seriamente preocuppando circa il mio stato di salute mentale...
aggiornamento......
Forse ho ricapito
Per ogni coppia che è possibile formare con le variabili a,b,c deve valere la relazione, qui manca la coppia a,c quindi non si può definire transitiva!
Ma G era corretta anche se scrivevo $G={ (a,a), (b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a)}$ ?
Mi auguro di essere sulla buona strada!
avrò dei seri problemi nell'interpretazione delle definizioni
se prendo lo stesso insieme S e voglio creare una relazione simmetrica, riflessiva ma non transitiva
il libro porta questa soluzione
$G={ (a,a), (b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}
aRb
bRa
aRa
bRc
cRb
bRb
e non è transitiva?
mi sto seriamente preocuppando circa il mio stato di salute mentale...
aggiornamento......
Forse ho ricapito
Per ogni coppia che è possibile formare con le variabili a,b,c deve valere la relazione, qui manca la coppia a,c quindi non si può definire transitiva!
Ma G era corretta anche se scrivevo $G={ (a,a), (b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a)}$ ?
Mi auguro di essere sulla buona strada!
mi sa che si scrivevo G in quel modo poi transitiva lo diventava!
Ho visto che tutti gli errori che avevi fatto te li sei corretti da sola!
che intendi?
"Rei":
mi sa che si scrivevo G in quel modo poi transitiva lo diventava!
che intendi?
$G={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a)}$
stando a quello che ho capito scrivendo così la relazione, dovrebbe diventare transitiva
stando a quello che ho capito scrivendo così la relazione, dovrebbe diventare transitiva
si esatto
sto iniziando a capirci qualcosa, grazie fox!
prego!
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