Dubbio sulla seguente relazione $|A|>=|B|$

[jellybean22]

Buona sera a tutti... Come avrete notato negli ultimi giorni non sono pochi i dubbi che porto in serbo con me... uno dei quali è il seguente: nella definizione che ci è stata detta oggi dal professore, confrontando la cardinalità tra due insiemi, è saltato fuori che $|A|>=|B|$ se e solo se $f:A->B$ è suriettiva. Fino a quando si trattava di $|A|<=|B|$ (e quindi se gli elementi di A sono meno di quelli di B) è necessario che $f:A->B$ sia iniettiva. Ma non mi riesco a spiegare il primo caso. Se gli elementi di A sono superiori a quelli di B ed f è suriettiva, l'unica soluzione sarebbe che gli elementi di B siano immagini di più elementi di A o sbaglio? Grazie a tutti...

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]

[perplesso1]

"Francesco.93": l'unica soluzione sarebbe che gli elementi di B siano immagini di più elementi di A o sbaglio?

Si è una cosa che può succedere, che ci vedi di strano? Per esempio la funzione $f(x)= x^2$ è tale che $f(x)= f(-x)$ per ogni $x \in RR$

[jellybean22]

Più che di strano, non ero sicuro della risposta che mi ero dato . Se io considero quindi la relazione $|A|>=|B|$ significa che $f:A->B$ è suriettiva; ma dato che $|B|<=|A|$ significa che $f:B->A$ deve essere iniettiva, giusto?

[PZf]

"Francesco.93":... $|A|>=|B|$ significa che $f:A->B$ è suriettiva ...

Chi è $f$ ? La definizione non può essere del tipo "$|A|>=|B|$ se $f:A->B$ è suriettiva": non hai detto chi è $f$.

La definizione corretta è $|A|>=|B|$ se esiste una funzione $f:A->B$ suriettiva. $|A|<=|B|$ se esiste una funzione $f:A->B$ iniettiva.

"Francesco.93":Più che di strano, non ero sicuro della risposta che mi ero dato . Se io considero quindi la relazione $|A|>=|B|$ significa che $f:A->B$ è suriettiva; ma dato che $|B|<=|A|$ significa che $f:B->A$ deve essere iniettiva, giusto?

La stessa $f$ non può essere una volta una funzione da $A$ a $B$ e la frase dopo una funzione da $B$ ad $A$ (se $A\ne B$).

Sarebbe corretto dire così: $|A|>=|B|$ significa che esiste una funzione $f:A->B$ suriettiva, ma dato che $|B|<=|A|$ esiste anche una funzione $g:B->A$ iniettiva. Che poi riesci a costruire una tale funzione $g$ partendo dalla conoscenza della funzione $f$ è un altro discorso. In ogni caso la $f$ e la $g$ sono, in generale, due funzioni diverse.

[jellybean22]

Ho capito... Bisogna essere precisi: è la prima cosa che devo imparare...