Dubbio sulla risoluzione delle equazioni diofantee
Mi sono accorto di essere in dubbio sulla risoluzione di un equazione diofantea, prenadimo ad esempio questa:
$321x+75y = 33$
Sappiamo che il primo termine è a, il secondo b ed il terzo c.
Inanzi tutto facciamo l'mcd tra a e b, se l'mcd dividerà 33 allora lequazione diofantea ammetterà soluzioni
In questo caso abbiamo $mcd(321,75)=3|33$
Ora dobbiamo trovarci le identità di bezout per sapere chi è x e chi è y, o meglio, con l'identità di bezout ci trovaimo una possibile coppia ordinata di x ed y.
Svolgendo questa identità ottengo: $3= 321*(-7)+75*30$ ovvero la coppia ordinata $(-7,30)$ è una soluzione dell'equazione, o no?
Perchè ho notato che, nei miei appunti prende le identità di bezout trovate e le moltiplica per un certo Csegnato, che sempre per gli appunti è uguale a $c*d$ ove $d$ è l'mcd trovato sopra e $c$ è il terzo membro dell'equazione diofantea. Ha senso questo?
Oggi in un'altro esercizio, fatto da un'altra professoressa di matematica, le identità di bezout si limitava a moltiplicare per l'mcd. Possibile?
Perchè poi dice che che per trovare tutte le coppie ordinate utilizziamo la formula:
$(x0-a/d *h; y0-b/d *h$ con $h in ZZ$
Quindi queste $x0,y0$ cosa sono? semplicemente l'identità di bezout? l'identità di bezout moltiplicate per $d$? o ancora le identità di bezout moltiplicate per $c*d$?
Vi ringrazio per la cortesia,
Neptune.
$321x+75y = 33$
Sappiamo che il primo termine è a, il secondo b ed il terzo c.
Inanzi tutto facciamo l'mcd tra a e b, se l'mcd dividerà 33 allora lequazione diofantea ammetterà soluzioni
In questo caso abbiamo $mcd(321,75)=3|33$
Ora dobbiamo trovarci le identità di bezout per sapere chi è x e chi è y, o meglio, con l'identità di bezout ci trovaimo una possibile coppia ordinata di x ed y.
Svolgendo questa identità ottengo: $3= 321*(-7)+75*30$ ovvero la coppia ordinata $(-7,30)$ è una soluzione dell'equazione, o no?
Perchè ho notato che, nei miei appunti prende le identità di bezout trovate e le moltiplica per un certo Csegnato, che sempre per gli appunti è uguale a $c*d$ ove $d$ è l'mcd trovato sopra e $c$ è il terzo membro dell'equazione diofantea. Ha senso questo?
Oggi in un'altro esercizio, fatto da un'altra professoressa di matematica, le identità di bezout si limitava a moltiplicare per l'mcd. Possibile?
Perchè poi dice che che per trovare tutte le coppie ordinate utilizziamo la formula:
$(x0-a/d *h; y0-b/d *h$ con $h in ZZ$
Quindi queste $x0,y0$ cosa sono? semplicemente l'identità di bezout? l'identità di bezout moltiplicate per $d$? o ancora le identità di bezout moltiplicate per $c*d$?
Vi ringrazio per la cortesia,
Neptune.
Risposte
Io direi di seguire questa strada, siccome ho che
$321x+75y=33$ con $gcd(321,75)=3$ mi riduco al caso:
$107x+25y=11$
e da qui faccio le seguenti considerazioni: le soluzioni sono necessariamente nella forma:
${(107x\equiv11 mod 25),(25y\equiv11 mod 107):}$
con qualche conto ottengo esattamente il tuo risultato (moltiplicando per $11$ la tua coppia $(-7,30)$), ma...
${(x\equiv-77mod25),(y\equiv 330 mod 107):}$
da cui le soluzioni al problema sono:
${(x\equiv-2mod25),(y\equiv 9 mod 107):}$
ovvero $(-2,9)$ che dovrebbero essere le tue $(x_0,y_0)$
$321x+75y=33$ con $gcd(321,75)=3$ mi riduco al caso:
$107x+25y=11$
e da qui faccio le seguenti considerazioni: le soluzioni sono necessariamente nella forma:
${(107x\equiv11 mod 25),(25y\equiv11 mod 107):}$
con qualche conto ottengo esattamente il tuo risultato (moltiplicando per $11$ la tua coppia $(-7,30)$), ma...
${(x\equiv-77mod25),(y\equiv 330 mod 107):}$
da cui le soluzioni al problema sono:
${(x\equiv-2mod25),(y\equiv 9 mod 107):}$
ovvero $(-2,9)$ che dovrebbero essere le tue $(x_0,y_0)$
I sistemi di congruenze li sto iniziando a studiare proprio ora, quindi ancora non li capisco appieno.
Quindi, la coppia (-7,30) posso dire che è UNA soluzione del mio sistema, benchè non è la piu piccola? e se invece volessi trovare la più piccola come fare con calcoli semplici ?
Quindi, la coppia (-7,30) posso dire che è UNA soluzione del mio sistema, benchè non è la piu piccola? e se invece volessi trovare la più piccola come fare con calcoli semplici ?
No la coppia $(-7,30)$ non risolve nulla!
Una soluzione è eventualmente $(-77,330)$. Per trovare "la più piccola" (anche se qui non è chiaro di cosa si intende per piccola) dovresti procedere come sopra.
Una soluzione è eventualmente $(-77,330)$. Per trovare "la più piccola" (anche se qui non è chiaro di cosa si intende per piccola) dovresti procedere come sopra.
La più piccola soluzione è
$ x-=-77+(75h)/3=23 $ Dove il 3 corrisponde al MCD
cioè
$x-=23(mod25)
$ x-=-77+(75h)/3=23 $ Dove il 3 corrisponde al MCD
cioè
$x-=23(mod25)
Daccordo ma non c'è un modo per calcolarsi tutto senza le congruenze? perchè ripeto questo è un capitolo "precedente", lei ce l'ha spiegato con una formuletta, il problema è che attualmente mi sfugge tale formuletta.
"Neptune":scusami mi correggo la formuletta è la seguente
Daccordo ma non c'è un modo per calcolarsi tutto senza le congruenze? perchè ripeto questo è un capitolo "precedente", lei ce l'ha spiegato con una formuletta, il problema è che attualmente mi sfugge tale formuletta.
$x=-77+(75h)/(MCD)
dove x=23
Ho rivisto una traccia svolta e pare che:
Troviamo l'mcd tra il primo ed il secondo membro che come già detto è $3$. Essendo $3|33$ allora dividono tutta l'equazione diofantea per 3 e si riconducono all'equazione equivalente:
$107x+25y=11$ che avrà quindi $mcd(107,25) = 1$
Adesso si trovano le identità di bezout, e trovano $1=107*(-7)+25*(30)$ e a questo punto moltiplicano tutto per C ottenendo, per l'appunto:
$11=107*(-77)+25*(330)$ e dicono che quindi che la coppia (-77,330) è una soluzione dell'equazione equivalente che ci siamo trovati, o no? se moltipicassimo di nuovo ambo i membri dell'equazione per 3 riotteremmo l'equazione di partenza, no?
Poi dice che per trovare tutti i risultati basta utilizzare questa formula:
$(-77+25*h;330-107*h)$ con $h in ZZ$ che è riconducibile alla formula $(x0+b/d*h; y0-a/d*h)$, dove $d=mcd(107,25) = 1$
Troviamo l'mcd tra il primo ed il secondo membro che come già detto è $3$. Essendo $3|33$ allora dividono tutta l'equazione diofantea per 3 e si riconducono all'equazione equivalente:
$107x+25y=11$ che avrà quindi $mcd(107,25) = 1$
Adesso si trovano le identità di bezout, e trovano $1=107*(-7)+25*(30)$ e a questo punto moltiplicano tutto per C ottenendo, per l'appunto:
$11=107*(-77)+25*(330)$ e dicono che quindi che la coppia (-77,330) è una soluzione dell'equazione equivalente che ci siamo trovati, o no? se moltipicassimo di nuovo ambo i membri dell'equazione per 3 riotteremmo l'equazione di partenza, no?
Poi dice che per trovare tutti i risultati basta utilizzare questa formula:
$(-77+25*h;330-107*h)$ con $h in ZZ$ che è riconducibile alla formula $(x0+b/d*h; y0-a/d*h)$, dove $d=mcd(107,25) = 1$
"Gladior":
La più piccola soluzione è
$ x-=-77+(75h)/3=23 $ Dove il 3 corrisponde al MCD
cioè
$x-=23(mod25)
Ora che ho studiato a fondo le congurenze già capisco meglio, quindi da qui possiamo dire che la $x$ più piccola sarà uguale a $-2$ che è congruo a $3$?
Ovvero posso dire che la più piccola $x$ positiva, soluzione di questa equazione diofantea, è uguale a $3$?
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