Dubbio sulla proiezione canonica di gruppi

[Rinhos]

ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa asserzione che mi lascia qualche dubbio

se noi abbiamo $G$ gruppo, $N$ normale in $G$ e $H <= G$, allora si definisce la proiezione canonica

$\pi: G \to G/N$ che manda gli elementi di $G$ nelle classi laterali mod $H$. Poi però mi compare questo:

$\pi(H)={hN : h in H}=(HN)/N$

non capisco. sono d'accordo che $N$ non è un sottogruppo di H quindi scrivere $H/N$ sarebbe un abuso di notazione, mentre invece $N$ è sottogruppo di $HN$ quindi in particolare ha senso scrivere $(HN)/N$. Però le classi ${hN : h in H}$ sono ben diverse da ${xN : x in HN}$. O sbaglio?

[cirasa]

Non capisco quale sia il problema:
$N$ è sottogruppo normale di $HN$. Quindi ha senso considerare $\frac{HN}{N}$. Questo è l'insieme delle classi laterali $hnN=hN$, con $h\in H$.
Ma $hN=\pi(h)$, quindi $\frac{HN}{N}$ è l'insieme dei $\pi(h)$ con $h\in H$, ovvero appunto $\pi(H)$.

Il punto forse è questo: se $h\in H$ e $n\in N$, allora si ha che $hnN=hN$

E' più chiaro ora?

[dissonance]

Invece no. Se $x\inHN$ vuol dire che puoi decomporre $x=hn$. Segue che $xN=hN$, il che dimostra l'inclusione ${xN\ :\ x\inHN}\subset {hN\ :\ h\inH}$. L'altra inclusione invece è ovvia, dal momento che $H=H1\subset HN$.

[edit] Scrivevo contemporaneamente a cirasa. L' "invece no" è riferito a

"Rinhos":Però le classi ${hN : h in H}$ sono ben diverse da ${xN : x in HN}$. O sbaglio?

[Rinhos]

avete assolutamente ragione. che svista, forse se mi ci mettevo con carta e penna lo notavo!!

grazie mille