Dubbio sulla logica di una dimostrazione
Ciao,
cerco un aiuto per una dimostrazione di cui non riesco bene ad afferrare la logica sottostante per giungere alla prova.
Devo dimostrare che:
Dato Ax=b sistema lienare con v' sua soluzione. Tutte e sole le soluzioni v del sistema sono della forma v=v+w con w soluzione del sistema omogeneo associato.
DIM:
=>)[nota]il dubbio su <= lo posto dopo, andiamo per gradi
[/nota] (inizio dimostrando che tutte le soluzioni sono della forma somma scritta)
Sia v' soluzione del sistema, e w di quello omogeneo
avendo Av'=b e Aw=0
sommando membro a membro ho A(v'+w)=b
quindi come voluto v'+w è soluzione di Ax=b
Veniamo ai dubbi:
In primo luogo a me sembra di dover dimostrare quanto segue:
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione <=> v ha forma v=v'+w)
Dunque della <=> inizio a dimostrare =>, ora:
Hp: 1) v' è soluzione assieme (and) a 2) v è soluzione (per importazione-esportazione)
Th: v=v'+w
Domanda 1: Ho detto cavolate o è giusto?
Ebbene, se giusto non riesco a comprendere i passi svolti dal professore in quanto in una ipotetica dimostrazione mi sembra di dover tirare fuori la forma v=v'+w dalle ipotesi date, insomma dovrei partire da v (generica) e v' quindi non capisco bene la logica. Spero in qualche aiuto...
EDIT: mi sono accorto di aver scritto solo tutte, l'enunciato era tutte e sole!
cerco un aiuto per una dimostrazione di cui non riesco bene ad afferrare la logica sottostante per giungere alla prova.
Devo dimostrare che:
Dato Ax=b sistema lienare con v' sua soluzione. Tutte e sole le soluzioni v del sistema sono della forma v=v+w con w soluzione del sistema omogeneo associato.
DIM:
=>)[nota]il dubbio su <= lo posto dopo, andiamo per gradi

Sia v' soluzione del sistema, e w di quello omogeneo
avendo Av'=b e Aw=0
sommando membro a membro ho A(v'+w)=b
quindi come voluto v'+w è soluzione di Ax=b
Veniamo ai dubbi:
In primo luogo a me sembra di dover dimostrare quanto segue:
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione <=> v ha forma v=v'+w)
Dunque della <=> inizio a dimostrare =>, ora:
Hp: 1) v' è soluzione assieme (and) a 2) v è soluzione (per importazione-esportazione)
Th: v=v'+w
Domanda 1: Ho detto cavolate o è giusto?
Ebbene, se giusto non riesco a comprendere i passi svolti dal professore in quanto in una ipotetica dimostrazione mi sembra di dover tirare fuori la forma v=v'+w dalle ipotesi date, insomma dovrei partire da v (generica) e v' quindi non capisco bene la logica. Spero in qualche aiuto...
EDIT: mi sono accorto di aver scritto solo tutte, l'enunciato era tutte e sole!
Risposte
Mi pare che la dimostrazione che riporti all'inizio (dopo DIM) mostri che "le cose della forma scritta" sono soluzioni.
Se quello era il tuo dubbio hai ragione.
Comunque credo che per capire bene ciò che si dimostra sia meglio scrivere così:
Sia $w$ una soluzione del sistema $Ax=b$. Allora:
$x$ è soluzione se e solo se esiste $x_0$ soluzione del sistema omogeneo tale che $x=x_0+w$.
($w$ è dato all'inizio - almeno questo è quello che si fa di solito).
Se quello era il tuo dubbio hai ragione.
Comunque credo che per capire bene ciò che si dimostra sia meglio scrivere così:
Sia $w$ una soluzione del sistema $Ax=b$. Allora:
$x$ è soluzione se e solo se esiste $x_0$ soluzione del sistema omogeneo tale che $x=x_0+w$.
($w$ è dato all'inizio - almeno questo è quello che si fa di solito).
Ciao, grazie per la risposta.
Prima di tutto volevo chiederti, non che voglia essere pigro e non capire quello che tu hai scritto, ma solo per capire se sto prendendo una cantonata.
Secondo te l'enunciato che mi è stato dato, riscritto come:
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione <=> v ha forma v=v'+w)
è così errato?
poi. io voglio dimostrare inizialmente =>
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione => v ha forma v=v'+w)
da cui sfruttando l'importazione-esportazione equivale a dimostrare:
(ax=b sistema con v' sua soluzione and v soluzione) => v ha forma v=v'+w
è errato? Mi importava capire per non sbagliare in futuro eventualmente.
In secondo luogo io avevo pensato, se fosse corretto quanto scritto, di dimostrare così la
=>
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
Ovviamente poi manca <=, ma ne volevo parlare dopo..
Prima di tutto volevo chiederti, non che voglia essere pigro e non capire quello che tu hai scritto, ma solo per capire se sto prendendo una cantonata.
Secondo te l'enunciato che mi è stato dato, riscritto come:
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione <=> v ha forma v=v'+w)
è così errato?
poi. io voglio dimostrare inizialmente =>
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione => v ha forma v=v'+w)
da cui sfruttando l'importazione-esportazione equivale a dimostrare:
(ax=b sistema con v' sua soluzione and v soluzione) => v ha forma v=v'+w
è errato? Mi importava capire per non sbagliare in futuro eventualmente.
In secondo luogo io avevo pensato, se fosse corretto quanto scritto, di dimostrare così la
=>
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
Ovviamente poi manca <=, ma ne volevo parlare dopo..
"pisterna":
Ciao, grazie per la risposta.
Prima di tutto volevo chiederti, non che voglia essere pigro e non capire quello che tu hai scritto, ma solo per capire se sto prendendo una cantonata.
Secondo te l'enunciato che mi è stato dato, riscritto come:
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione <=> v ha forma v=v'+w)
è così errato?
In effetti coicide con quell che ho detto io (quindi è giusto

Va poi osservato che "$v$ ha forma $v=v'+w$" deve essere tradotto con
"esiste $w$ soluzione di $Ax=0$ tale che $v=v'+w$".
Non sto dicendo questo per dire che hai sbagliato qualcosa, solo per puntualizzare prima di andare avanti.
"pisterna":
poi. io voglio dimostrare inizialmente =>
Di quale => parli, della prima o della seconda? Leggendo avanti direi della seconda.
"pisterna":
(ax=b sistema con v' sua soluzione) => (v soluzione => v ha forma v=v'+w)
da cui sfruttando l'importazione-esportazione equivale a dimostrare:
(ax=b sistema con v' sua soluzione and v soluzione) => v ha forma v=v'+w
è errato? Mi importava capire per non sbagliare in futuro eventualmente.
Non è errato!. Se conveniamo di chiamare ($S$) il sistema e $(S_0$) il sistema omogeneo, quello che hai scritto corrisponde a
"se $v$ e $v'$ sono soluzioni di ($S$), allora esiste $w$ soluzione di ($S_0$) tale che $v=v'+w$"
che è giusto (e che corrisponde alla =>).
"pisterna":
In secondo luogo io avevo pensato, se fosse corretto quanto scritto, di dimostrare così la
=>
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
Perfetto! E' tutto giusto

Grazie ancora per la pazienza 
Mi soffermo solo sulle considerazioni dubbie, il restro che scrivi che ho compreso lo tralascio del tutto perche ci sono!
Parlavo della seconda (cioè quella bi <=>), infatti se noti avevo poi levato <= questa freccetta.
Si, il punto era proprio quello che sui miei appunti invece l'avevo segnata come => e non <= e sta cosa mi faceva ammattire, mentre io con la mia riportata
volevo dimostrare => (cioè il TUTTE di TUTTE e sole).
insomma direi che ora ci siamo. E convengo col resto.
Mi piacerebbe ora però tediarti con l'altra parte <= ossia quella che stando al mio asserto Tutte e sole è la parte di sole.
Qui avevo escogitato due idee. Però vorrei una conferma dato che sono un pasticcione.
1)
La prima idea era mostrare l'asserto
"Dato Ax=b sistema lienare con v' sua soluzione. Le sole le soluzioni v del sistema sono della forma v=v'+w con w soluzione del sistema omogeneo associato."
DIM:
(voglio dimostrare che le soluzioni sono SOLO della forma richiesta, insomma l'unicità di quella forma per le soluzioni)
Assumo quindi v' e un'altra soluzione v'' (generica), a questo punto di nuovo A(v'-v'')=0 quindi v''=v'+w
il dubbio sorge qui (e sarà stupido ma non vedo perché non funzioni): io ho preso v'' generico e in qualche modo ho mostrato che la sua forma è UNICAMENTE v''=v'+w, però questa dimostrazione coincide con la precedente (cioè la <=). La mia domanda è quindi, perché non dimostra anche l'unicità? Non riesco a capirlo
2)D'altra parte potrei anche dimostrare l'implicazione inversa di quella vista prima, ossia:
(ax=b sistema con v' sua soluzione and v=v'+w and w soluzione dell'omogeneo associato) => v è soluzione
DIM:
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
E credo sia la dimostrazione giusta. Nel caso non mi ci soffermo troppo il dubbio è nel punto 1)
Ovviamente il teorema è chiaro eh, però lo sto usando un po' per palestra per capire gli errori e le metodologie

Mi soffermo solo sulle considerazioni dubbie, il restro che scrivi che ho compreso lo tralascio del tutto perche ci sono!

Di quale => parli, della prima o della seconda? Leggendo avanti direi della seconda.
Parlavo della seconda (cioè quella bi <=>), infatti se noti avevo poi levato <= questa freccetta.
L'unica cosa è che la dimostrazione che hai fatto non è quella scritta nel primo post (che invece dimostra <=) - mi pare non ci sia altro da dire.
Si, il punto era proprio quello che sui miei appunti invece l'avevo segnata come => e non <= e sta cosa mi faceva ammattire, mentre io con la mia riportata
volevo dimostrare => (cioè il TUTTE di TUTTE e sole).
insomma direi che ora ci siamo. E convengo col resto.
Mi piacerebbe ora però tediarti con l'altra parte <= ossia quella che stando al mio asserto Tutte e sole è la parte di sole.
Qui avevo escogitato due idee. Però vorrei una conferma dato che sono un pasticcione.
1)
La prima idea era mostrare l'asserto
"Dato Ax=b sistema lienare con v' sua soluzione. Le sole le soluzioni v del sistema sono della forma v=v'+w con w soluzione del sistema omogeneo associato."
DIM:
(voglio dimostrare che le soluzioni sono SOLO della forma richiesta, insomma l'unicità di quella forma per le soluzioni)
Assumo quindi v' e un'altra soluzione v'' (generica), a questo punto di nuovo A(v'-v'')=0 quindi v''=v'+w
il dubbio sorge qui (e sarà stupido ma non vedo perché non funzioni): io ho preso v'' generico e in qualche modo ho mostrato che la sua forma è UNICAMENTE v''=v'+w, però questa dimostrazione coincide con la precedente (cioè la <=). La mia domanda è quindi, perché non dimostra anche l'unicità? Non riesco a capirlo
2)D'altra parte potrei anche dimostrare l'implicazione inversa di quella vista prima, ossia:
(ax=b sistema con v' sua soluzione and v=v'+w and w soluzione dell'omogeneo associato) => v è soluzione
DIM:
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
E credo sia la dimostrazione giusta. Nel caso non mi ci soffermo troppo il dubbio è nel punto 1)
Ovviamente il teorema è chiaro eh, però lo sto usando un po' per palestra per capire gli errori e le metodologie

Scusa ma non riesco a cogliere qual è il dubbio. Non vorrei fosse nell'ambiguità delle formulazioni "a parole" per cui mettiamoci d'accordo sulla terminologia.
Per brevità chiamerò ($S$) il sistema e ($S_0$) il sistema omogeneo (dunque $x$ è soluzione di ($S$)/($S_0$) se $Ax=b$/$Ax=0$.
Secondo me l'enunciato è:
Proposizione. Per ogni $v'$ soluzione di $(S)$ vale che:
($\ast$) per ogni $v$ ($v$ risolve ($S$) )<=>(esiste $w$ tale che $w$ risolve ($S_0$) e $v=v'+w$)
A parole la ($\ast$) la dici come "le soluzioni $v$ di ($S$) sono tutte e sole della forma $v=v'+w$, con $w$ soluzione di ($S_0$)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "<=", mentre "sole" si riferisce a "=>" (tutte quelle con quella forma sono soluzioni/solo quelle con quella forma sono soluzioni).
A questo punto non mi è chiaro qual è il tuo dubbio nel seguente passaggio.
Qui non hai dimostrato che "tutte" le $v'+w$ sono soluzioni, hai dimostrato "=>" ma non "<=".
Per brevità chiamerò ($S$) il sistema e ($S_0$) il sistema omogeneo (dunque $x$ è soluzione di ($S$)/($S_0$) se $Ax=b$/$Ax=0$.
Secondo me l'enunciato è:
Proposizione. Per ogni $v'$ soluzione di $(S)$ vale che:
($\ast$) per ogni $v$ ($v$ risolve ($S$) )<=>(esiste $w$ tale che $w$ risolve ($S_0$) e $v=v'+w$)
A parole la ($\ast$) la dici come "le soluzioni $v$ di ($S$) sono tutte e sole della forma $v=v'+w$, con $w$ soluzione di ($S_0$)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "<=", mentre "sole" si riferisce a "=>" (tutte quelle con quella forma sono soluzioni/solo quelle con quella forma sono soluzioni).
A questo punto non mi è chiaro qual è il tuo dubbio nel seguente passaggio.
"pisterna":
1)
(voglio dimostrare che le soluzioni sono SOLO della forma richiesta, insomma l'unicità di quella forma per le soluzioni)
Assumo quindi v' e un'altra soluzione v'' (generica), a questo punto di nuovo A(v'-v'')=0 quindi v''=v'+w
il dubbio sorge qui (e sarà stupido ma non vedo perché non funzioni): io ho preso v'' generico e in qualche modo ho mostrato che la sua forma è UNICAMENTE v''=v'+w, però questa dimostrazione coincide con la precedente (cioè la <=). La mia domanda è quindi, perché non dimostra anche l'unicità? Non riesco a capirlo.
Qui non hai dimostrato che "tutte" le $v'+w$ sono soluzioni, hai dimostrato "=>" ma non "<=".
Ok allora mi sa che devo prima di iniziare a parlare del resto mettere ordine qui:
Io la intendevo come:
A parole la (∗) la dici come "tutte e sole le soluzioni v di (S) sono della forma v=v'+w, con w soluzione di (S0)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "=>", mentre "sole" si riferisce a "<=".
Il fatto è che essendo una bi-implicazione mi pare corretta anche scritta nel mio modo, sbaglio? Ho solo spostato il senso del tutte e sole, ma tanto è <=>, quindi è equamente valida.
Vediamo cosa ne pensi, capito questo continuo sul resto, ma non voglio mettere mille dubbi, meglio andare per gradi
O ancora, più formalmente (spoiler)
ti ringrazio di nuovo!
PS: so che tutti questi discorsi sembrano stupidi su questo piccolo teorema, ma lo sto proprio usando per dipanare dubbi generici e credo che solo capendolo a fondo mi aiuterà anche per il futuro, come dicevo a mo di palestra.
Proposizione. Per ogni v' soluzione di (S) vale che:
(∗) per ogni v (v risolve (S) )<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
A parole la (∗) la dici come "le soluzioni v di (S) sono tutte e sole della forma v=v'+w, con w soluzione di (S0)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "<=", mentre "sole" si riferisce a "=>" (tutte quelle con quella forma sono soluzioni/solo quelle con quella forma sono soluzioni).
Io la intendevo come:
A parole la (∗) la dici come "tutte e sole le soluzioni v di (S) sono della forma v=v'+w, con w soluzione di (S0)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "=>", mentre "sole" si riferisce a "<=".
Il fatto è che essendo una bi-implicazione mi pare corretta anche scritta nel mio modo, sbaglio? Ho solo spostato il senso del tutte e sole, ma tanto è <=>, quindi è equamente valida.
Vediamo cosa ne pensi, capito questo continuo sul resto, ma non voglio mettere mille dubbi, meglio andare per gradi

O ancora, più formalmente (spoiler)
ti ringrazio di nuovo!
PS: so che tutti questi discorsi sembrano stupidi su questo piccolo teorema, ma lo sto proprio usando per dipanare dubbi generici e credo che solo capendolo a fondo mi aiuterà anche per il futuro, come dicevo a mo di palestra.
Scusa. Prima di andare avanti bisogna chiarire la locuzioni "tutte e sole". Vediamo per esempio "le soluzioni di (P) sono tutte e sole le soluzioni di (Q)" (dove (P) e (Q) sono due problemi). Quando affermi questo intendi ovviamente che
(v è soluzione di (P))<=>(v è soluzione di (Q) ).
Se spezzi in due l'affermazione hai
(1) "le soluzioni di (P) sono TUTTE LE soluzioni di (Q)"
(2) "le soluzioni di (P) sono SOLO soluzioni di (Q)" (ho dovuto cambiare perché in italiano "SOLE LE" non ci sta.
Ora la (1) equivale a "TUTTE LE soluzioni di (Q) sono soluzioni di (P)" e cioè (v è soluzione di (P))<=(v è soluzione di (Q) ).
La (1) NON equivale a "TUTTE LE soluzioni di (P) sono soluzioni di (Q)"
.
Invece la (2) significa che "SOLO LE soluzioni di (Q) sono soluzioni di (P)" , non ci sono soluzioni di (P) che non siano anche soluzioni di (Q), cioè (v è soluzione di (P))=>(v è soluzione di (Q) ).
Non so se siamo d'accordo.
(v è soluzione di (P))<=>(v è soluzione di (Q) ).
Se spezzi in due l'affermazione hai
(1) "le soluzioni di (P) sono TUTTE LE soluzioni di (Q)"
(2) "le soluzioni di (P) sono SOLO soluzioni di (Q)" (ho dovuto cambiare perché in italiano "SOLE LE" non ci sta.
Ora la (1) equivale a "TUTTE LE soluzioni di (Q) sono soluzioni di (P)" e cioè (v è soluzione di (P))<=(v è soluzione di (Q) ).
La (1) NON equivale a "TUTTE LE soluzioni di (P) sono soluzioni di (Q)"

Invece la (2) significa che "SOLO LE soluzioni di (Q) sono soluzioni di (P)" , non ci sono soluzioni di (P) che non siano anche soluzioni di (Q), cioè (v è soluzione di (P))=>(v è soluzione di (Q) ).
Non so se siamo d'accordo.
Ora la (1) equivale a "TUTTE LE soluzioni di (Q) sono soluzioni di (P)" e cioè (v è soluzione di (P))<=(v è soluzione di (Q) ).
La (1) NON equivale a "TUTTE LE soluzioni di (P) sono soluzioni di (Q)".
Si certo siamo d'accordo spezzata così no obv., ma quello che volevo dire io è che essendo biimplica "<=>" posso flippare il tutte e sole, insomma
"le soluzioni di (P) sono tutte e sole le soluzioni di (Q)"
equivale a
"tutte e sole le soluzioni di (P) sono soluzioni di (Q)"
E spezzando ho
(1) "le soluzioni di (P) sono SOLO soluzioni di (Q)"
(2) "le soluzioni di (P) sono TUTTE LE soluzioni di (Q)"
Ora la (1) equivale a "TUTTE LE soluzioni di (P) sono soluzioni di (Q)" ecc. ecc. in poche parole si inverte tutto.
Se noti, specializzando questo in quello che dicevo nel mio penultimo messaggio dovrebbe tornare

Dal precedente:
[quote]Proposizione. Per ogni v' soluzione di (S) vale che:
(∗) per ogni v (v risolve (S) )<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
A parole la (∗) la dici come "le soluzioni v di (S) sono tutte e sole della forma v=v'+w, con w soluzione di (S0)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "<=", mentre "sole" si riferisce a "=>" (tutte quelle con quella forma sono soluzioni/solo quelle con quella forma sono soluzioni).
Io la intendevo come:
A parole la (∗) la dici come "tutte e sole le soluzioni v di (S) sono della forma v=v'+w, con w soluzione di (S0)".
In questa frase "tutte" si riferisce a "=>", mentre "sole" si riferisce a "<=".
[...]
tu scrivevi:
(v risolve (S) )<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
mentre io scrivevo:
(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)<=>v (v risolve (S) )
[/quote]
Sottlineo che questo è possibile perché <=>, ovviamente se ho => non funziona.
Insomma mi pare che se scrivamo formalmente gli enunciati con => e <= siamo tutti d'accordo.
Mi rimane la questione di quale fosse il tuo problema inziziale
.
Continuo a pensare che tu confondessi
"le soluzioni sono tutte quelle della forma..." con " tutte le soluzioni sono della forma..." -
la seconda delle due EQUIVALE a "le soluzioni sono solo della forma..."
Mi rimane la questione di quale fosse il tuo problema inziziale

Continuo a pensare che tu confondessi
"le soluzioni sono tutte quelle della forma..." con " tutte le soluzioni sono della forma..." -
la seconda delle due EQUIVALE a "le soluzioni sono solo della forma..."
Esatto rimane un po' il problema iniziale, per tirare le fila del discorso e tornare al dubbio primordiale.
In sostanza io sugli appunti avevo da dimostrare:
"per ogni v' soluzione di AX=B, tutte e sole le v soluzioni sono della forma v=v'+w"
che il professore in sostanza trascrive con:
(v risolve (S))<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
Il fatto era che il professore come dimostrazione di "=>" (ossia se v risolve => ha forma v=v'+w) scriveva:
Per dimostrare il "tutte le v hanno forma v=v'+w" procediamo come segue.
Sia v' soluzione del sistema, e w di quello omogeneo
avendo Av'=b e Aw=0
sommando membro a membro ho A(v'+w)=b
quindi come voluto v'+w è soluzione di Ax=b
E non mi torna molto perché io invece avrei scritto:
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
E questo era il primo dubbio.
Detto ciò c'era un secondo problema:
per casa ha lasciato da dimostrare che solo se v è soluzione di AX=B è della forma v=v'+w
SOL:
(la mia idea è quindi dimostrare l'implicazione opposta "se v=v'+w => v è soluzione")
ergo:
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
Tuttavia nella correzione che ha riportato nella lezione successiva ha scritto:
"vogliamo dimostrare ora che le soluzioni di AX=B sono solo della forma...".
Ma a me sembra l'esatto contrario di quello che volevo fare io.
Da qui la confusione.
In sostanza io sugli appunti avevo da dimostrare:
"per ogni v' soluzione di AX=B, tutte e sole le v soluzioni sono della forma v=v'+w"
che il professore in sostanza trascrive con:
(v risolve (S))<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
Il fatto era che il professore come dimostrazione di "=>" (ossia se v risolve => ha forma v=v'+w) scriveva:
Per dimostrare il "tutte le v hanno forma v=v'+w" procediamo come segue.
Sia v' soluzione del sistema, e w di quello omogeneo
avendo Av'=b e Aw=0
sommando membro a membro ho A(v'+w)=b
quindi come voluto v'+w è soluzione di Ax=b
E non mi torna molto perché io invece avrei scritto:
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
E questo era il primo dubbio.
Detto ciò c'era un secondo problema:
per casa ha lasciato da dimostrare che solo se v è soluzione di AX=B è della forma v=v'+w
SOL:
(la mia idea è quindi dimostrare l'implicazione opposta "se v=v'+w => v è soluzione")
ergo:
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
Tuttavia nella correzione che ha riportato nella lezione successiva ha scritto:
"vogliamo dimostrare ora che le soluzioni di AX=B sono solo della forma...".
Ma a me sembra l'esatto contrario di quello che volevo fare io.
Da qui la confusione.

"pisterna":
Esatto rimane un po' il problema iniziale, per tirare le fila del discorso e tornare al dubbio primordiale.
In sostanza io sugli appunti avevo da dimostrare:
"per ogni v' soluzione di AX=B, tutte e sole le v soluzioni sono della forma v=v'+w"
che il professore in sostanza trascrive con:
(v risolve (S))<=>(esiste w tale che w risolve (S0) e v=v'+w)
Il fatto era che il professore come dimostrazione di "=>" (ossia se v risolve => ha forma v=v'+w) scriveva:
Per dimostrare il "tutte le v hanno forma v=v'+w" procediamo come segue.
Sia v' soluzione del sistema, e w di quello omogeneo
avendo Av'=b e Aw=0
sommando membro a membro ho A(v'+w)=b
quindi come voluto v'+w è soluzione di Ax=b
E non mi torna molto perché io invece avrei scritto:
Io ho per ipotesi
$Av=b$ e $Av'=b$
quindi
$A(v-v')=0$
ora, chiamando $v-v'=:w$ noto che $A(w)=0$ soluzione dell'omogeneo associato
Da cui: $v-v'=w$ trovo $v=v'+w$ cvd
E questo era il primo dubbio.
Hai ragione!. Quella sopra non è la dimostrazione di "tutte le $v$ soluzione hanno forma $v=v'+w"$" (quella giusta è la tua). Però è la dimostrazione di "le $v$ soluzione sono tutte quelle della forma $v=v'+w"$" e cioè del "tutte" nellla "tutte e sole".
Qui c'è una svista del prof. (o un errore di trascrizione).
"pisterna":
Detto ciò c'era un secondo problema:
per casa ha lasciato da dimostrare che solo se v è soluzione di AX=B è della forma v=v'+w
SOL:
(la mia idea è quindi dimostrare l'implicazione opposta "se v=v'+w => v è soluzione")
ergo:
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
Tuttavia nella correzione che ha riportato nella lezione successiva ha scritto:
"vogliamo dimostrare ora che le soluzioni di AX=B sono solo della forma...".
Ma a me sembra l'esatto contrario di quello che volevo fare io.
Da qui la confusione.
Ma hai ragione anche qui! Non sono equivalenti "solo le soluzioni hanno la forma..." e "le soluzioni sono solo quelle della forma...". La seconda è la parte "sole" di "tutte e sole" (e quindi era qualla che mancava). Spostare il "sole" (o il "tutte") inverte il significato.
Da quello che riporti mi sembra proprio che i toui ragionamenti siano corretti.
L'importante era quello, cioè volevo validare i ragionamenti e ti ringrazio. Potrebbe benissimo essere che durante la lezione io non abbia capito un tubo e abbia invertito i ragionamenti che poi a casa non mi tornavano rimettendomici sopra (diciamo che ho usato l'abbreviazione "il prof ha detto" solo per semplificare il punto di vista, anziché dire quello che ho scritto sugli appunti ma non sono sicuro di aver copiato giusto o che sia una svista del prof avendo diviso su due lezioni l'argomento)
Mi scuso in realtà per la poca chiarezza che in realtà all'inizio aveva intorbidito le acque, ma vedrò di migliorarmi
Infine, ma non per ultimo, grazie per la pazienza!!
C'era solo una piccola cosa che non mi convinceva, quando scrivi
intendi il dimostrare che solo le v soluzioni di di AX=B sono della forma v=v'+w
ossia
(che di fatto è dimostrare "se v=v'+w => v è soluzione")
giusto?
Mi scuso in realtà per la poca chiarezza che in realtà all'inizio aveva intorbidito le acque, ma vedrò di migliorarmi

Infine, ma non per ultimo, grazie per la pazienza!!
C'era solo una piccola cosa che non mi convinceva, quando scrivi
La seconda è la parte "sole" di "tutte e sole" (e quindi era qualla che mancava).
intendi il dimostrare che solo le v soluzioni di di AX=B sono della forma v=v'+w
ossia
Questo è facile perché A(v'+w)=Av'+Aw=Av'+0=B+0=B cvd
(che di fatto è dimostrare "se v=v'+w => v è soluzione")
giusto?
"pisterna":
C'era solo una piccola cosa che non mi convinceva, quando scrivi
La seconda è la parte "sole" di "tutte e sole" (e quindi era qualla che mancava).
intendi il dimostrare che solo le v soluzioni di di AX=B sono della forma v=v'+w
ossia
NO. Intendo che "le soluzioni di AX=B sono solo della forma v=v'+w".
Qui stanno girando QUATTRO proposizioni:
(1) "solo le v soluzioni hanno la forma v=v'+w";
(2) "le v soluzioni hanno solo la forma v=v'+w";
(3) "tutte le v soluzioni hanno la forma v=v'+w";
(4) "le v soluzioni sono tutte della forma v=v'+w".
Si ha che (1) e (4) sono equivalenti a <= mentre (2) e (3) sono equivalenti a => (in (v soluzione)<=>( v=v'+w con ...).
Perfetto direi che ora mi è del tutto chiaro quello che volevi dire.
Mi piacerebbe per curiosità spingermi un po piu in là, mi chiedevo se dimostrare
se esiste v soluzione => è della forma v=v'+w mi desse anche una sorta di unicità
Vediamolo meglio in questo esempio, stavo ripensando in particolare alla dimostrazione dei gruppi:
"in un gruppo l'equazione ax=b ha soluzione", ossia la soluzione esiste ed è unica.
Quando si vuole dimostrare l'unicità si scrive come dimostrazione:
$ax=b -> a^-1ax=a^-1b -> x=a^-1b$
ebbene questo vuol dire: "se ax=b ha soluzione => è (unicamente) della forma x=a^-1b" unicità della "forma" della soluzione
come dicevamo questa "=>" può riscriversi come: solo la x di forma $x=a^-1b$ è soluzione di ax=b.
E mi chiedevo è in quel solo che si racchiude l'unicità cercata della soluzione? Cioè non riesco a capire se in quel "solo" possa esserci un senso di unicità oppure se quel "solo" è una mera riscrittura del =>.
Devo dire che su ste cose mi sto arrovellando non poco
Mi piacerebbe per curiosità spingermi un po piu in là, mi chiedevo se dimostrare
se esiste v soluzione => è della forma v=v'+w mi desse anche una sorta di unicità
Vediamolo meglio in questo esempio, stavo ripensando in particolare alla dimostrazione dei gruppi:
"in un gruppo l'equazione ax=b ha soluzione", ossia la soluzione esiste ed è unica.
Quando si vuole dimostrare l'unicità si scrive come dimostrazione:
$ax=b -> a^-1ax=a^-1b -> x=a^-1b$
ebbene questo vuol dire: "se ax=b ha soluzione => è (unicamente) della forma x=a^-1b" unicità della "forma" della soluzione
come dicevamo questa "=>" può riscriversi come: solo la x di forma $x=a^-1b$ è soluzione di ax=b.
E mi chiedevo è in quel solo che si racchiude l'unicità cercata della soluzione? Cioè non riesco a capire se in quel "solo" possa esserci un senso di unicità oppure se quel "solo" è una mera riscrittura del =>.
Devo dire che su ste cose mi sto arrovellando non poco

Mah... Di solito per dire che $x_0$ è il solo elemento che verifica una proprietà $P()$ si dice:
$P(x_0) e(\forall x P(x)\Rightarrow x=x_0)$.
Quello che a volte si indica con "$\exists!$" . Se usi solo $\forall x P(x)\Rightarrow x=x_0$ dici che $x_0$ è l'unico possibile, ma magari neanche lui va bene.
Non so se aiuta...
$P(x_0) e(\forall x P(x)\Rightarrow x=x_0)$.
Quello che a volte si indica con "$\exists!$" . Se usi solo $\forall x P(x)\Rightarrow x=x_0$ dici che $x_0$ è l'unico possibile, ma magari neanche lui va bene.
Non so se aiuta...
Più che altro il dubbio mi era sorto cercando varie risposte prima di scrivere e avevo trovato: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8500007
Il che era davvero simile a quello che mi aveva incuriosito.
Da qui sorgeva la domanda
siccome questa dimostra l'unicità: "se ax=b ha soluzione => è (unicamente) della forma x=a^-1b" (unicità della "forma" della soluzione)
e dato che "=>" può riscriversi come: solo la x di forma $x=a^-1b$ è soluzione di ax=b.
Mi ero incagliato sul fatto che quel solo racchiudesse un senso di unicità[nota]un "solo quella forma"[/nota].
comunque ci ragionerò su un po'
Il che era davvero simile a quello che mi aveva incuriosito.
Da qui sorgeva la domanda
siccome questa dimostra l'unicità: "se ax=b ha soluzione => è (unicamente) della forma x=a^-1b" (unicità della "forma" della soluzione)
e dato che "=>" può riscriversi come: solo la x di forma $x=a^-1b$ è soluzione di ax=b.
Mi ero incagliato sul fatto che quel solo racchiudesse un senso di unicità[nota]un "solo quella forma"[/nota].
comunque ci ragionerò su un po'
"pisterna":
Più che altro il dubbio mi era sorto cercando varie risposte prima di scrivere e avevo trovato: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8500007
Il che era davvero simile a quello che mi aveva incuriosito.
Da qui sorgeva la domanda
siccome questa dimostra l'unicità: "se ax=b ha soluzione => è (unicamente) della forma x=a^-1b" (unicità della "forma" della soluzione)
e dato che "=>" può riscriversi come: solo la x di forma $x=a^-1b$ è soluzione di ax=b.
Mi ero incagliato sul fatto che quel solo racchiudesse un senso di unicità[nota]un "solo quella forma"[/nota].
comunque ci ragionerò su un po'
Mi pare sia come dire "solo gli iscritti al club possono entrare in piscina". Non vedo unicità solo un 'inclusione :
${$persone che possono entrare in piscina $}subset{$iscritti al club$}$.
Nota che nel tuo problema per avere l'unicità serve sapere che $A$ è invertibile, cosa di cui non si èmai parlato.
No, certo, ma in tal caso non parlavo di unicità della soluzione, ma unicità della forma.
Cioé era un discorso più generico se P => Q, dato che "solo quando Q vale P", quel "solo" avesse un senso di "unicità" (unicamente Q).
Come nei gruppi $ax=b=>x=a^(−1)b$ (che dimostra l'unicità di Q, cioè in tal caso specifico unicità della soluzione x come $a^(−1)b$) potendo riscrivere l'espressione come "solo la x di forma x=a^(−1)b è soluzione di ax=b" e in qualche modo mi pareva di intravedere una unicità nel solo.
Ma mi rendo conte che non avendo una formalizzazione estrema della logica spesso mi incasino su ste cose. A molti viene naturale, a me mica tanto :\
Cioé era un discorso più generico se P => Q, dato che "solo quando Q vale P", quel "solo" avesse un senso di "unicità" (unicamente Q).
Come nei gruppi $ax=b=>x=a^(−1)b$ (che dimostra l'unicità di Q, cioè in tal caso specifico unicità della soluzione x come $a^(−1)b$) potendo riscrivere l'espressione come "solo la x di forma x=a^(−1)b è soluzione di ax=b" e in qualche modo mi pareva di intravedere una unicità nel solo.
Ma mi rendo conte che non avendo una formalizzazione estrema della logica spesso mi incasino su ste cose. A molti viene naturale, a me mica tanto :\
"pisterna":
Cioé era un discorso più generico se P => Q, dato che "solo quando Q vale P", quel "solo" avesse un senso di "unicità" (unicamente Q). \
Ha un senso di "restrizione": solo chi verifica Q può verificare P.
Che è quello che hai detto anche tu.
Sìsì ma non volevo dire che non mi fosse chiaro, avevo inteso 
Solo che non so perché colgo anche un solo se ho la forma $x=a^(-1)b$ essa è soluzione di ax=b, e quindi quella restrizione mi sembra restringere all'unica soluzione possibile, cioè della forma $x=a^(-1)b$ nell'esempio dei gruppi. Insomma che dimostra una unicità in questo senso.
Una unicità in quella restrizione alla forma voluta (e unica) dell'equazione.

Solo che non so perché colgo anche un solo se ho la forma $x=a^(-1)b$ essa è soluzione di ax=b, e quindi quella restrizione mi sembra restringere all'unica soluzione possibile, cioè della forma $x=a^(-1)b$ nell'esempio dei gruppi. Insomma che dimostra una unicità in questo senso.
Una unicità in quella restrizione alla forma voluta (e unica) dell'equazione.