Dubbio sul prodotto di sottogruppi

[banana_amica]

Dato un gruppo $(G,\cdot)$ e due suoi sottogruppi $(H,\cdot)$ e $(K,\cdot)$ si dimostra che $(HK,\cdot)$ è un sottogruppo se e solo se $HK=KH$; è però possibile che si abbia $HK \ne KH$ e $(HK \cup KH, \cdot)$ sottogruppo di $(G,\cdot)$?

grazie

[G.D.5]

"Matematicamente.it - Regolamento":
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.

1.3 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.

1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

[banana_amica]

Capisco l'osservazione, però non trattandosi di un problema da svolgere ma di un dubbio che mi sono posto studiando pensavo potesse essere possibile fare domanda su questo forum dopo averci sbattuto la testa sopra per un po': dato che istintivamente pendevo più da quel lato, ho provato a vedere se fosse dimostrabile l'impossibilità di tale situazione, ma dopo parecchio tempo non ci ho cavato un ragno dal buco; ho allora provato a trovare un esempio in cui ciò si realizzasse, ma anche così non ci son saltato fuori. Dato quindi che le mie conoscenze di algebra sono piuttosto limitate chiedevo se qualcuno sapesse qualche risultato che può portare a rispondere alla domanda o trovare un esempio adatto

[G.D.5]

Allora ti devo delle scuse.

È che leggendo il tuo post ho pensato che avessi per errore scritto "si dimostra" anziché "si dimostri". Avendo avuto luogo questo malinteso ho pensato che quello fosse un esercizio proveniente da qualche dispensa di qualche docente e non un tuo dubbio.

[banana_amica]

Non c'è problema! comunque sì, intendevo proprio "si dimostra": ho riportato tale risultato noto solo per contestualizzare un minimo la questione. Ciò che non riesco a capire è invece se sia possibile il verificarsi della seguente situazione: HK≠KH (e quindi, per il risultato noto, nè HK nè KH possono essere sottogruppi) ma (HK∪KH,⋅) risulta un sottogruppo di (G,⋅). Ciao!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

E' una domanda interessante, ci ho pensato un po' ma non trovo casi in cui succede che $HK uu KH = G$ (ti puoi facilmente ridurre a questo caso). Se trovo qualcosa ti faccio sapere.

[Oshawott277]

Ciao, secondo me, nel caso $G$ finito la risposta è no perché $HKuuKH$ è un gruppo se e solo se $HKsubeKHvvKHsubeHK$, ma se si verifica almeno una di queste due inclusioni, allora per ragioni di cardinalità $HK=KH$, dato che sappiamo che $o(HK)=o(KH)=(o(K)o(H))/(o(HnnK))$
Contro l'ipotesi che $HK$ e $KH$ siano diversi.
E nel caso $G$ infinito? Bo.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Oshawott277":$HKuuKH$ è un gruppo se e solo se $HKsubeKHvvKHsubeHK$

Puoi giustificare questa affermazione?

[banana_amica]

molte grazie a entrambi. riguardo al commento Oshawott277 avrei da fare questa osservazione: il risultato "A∪B è un gruppo se e solo se (A⊆B)∨(B⊆A)" non è un risultato provato quando A e B sono sottogruppi? perchè se è così in questo caso non mi appare applicabile

[Oshawott277]

"Martino":[quote="Oshawott277"]$HKuuKH$ è un gruppo se e solo se $HKsubeKHvvKHsubeHK$

Puoi giustificare questa affermazione?[/quote]
No, ripensandoci no. Dovrei sapere a priori che $HK$ e $KH$ sono sottogruppi per poterlo dire.
Quindi bisognerebbe dimostrare eventualmente che l'unione due sottoinsiemi (non sottogruppi) diversi che siano ripettivamente della forma $KH$ e $HK$ non è un sottogruppo di $G$.
Non mi vengono in mente controesempi, né altre idee.