Dubbio sul numero di gruppi abeliani di ordine n
Ciao a tutti,
ho soltanto un dubbio, che spero sia facile da chiarire:
Dato $|G|=n$, con , il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti mi dice che ogni gruppo abeliano finito è isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi, cioè:
$G \cong \prod_{i=1} ^r \mathbb{Z_{p_i^{a_i}}}$ dove $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}=n$ e per prodotto si intende il prodotto diretto.
Allora il numero di gruppi abeliani di ordine $n$ è il $p(a_1)p(a_2)\cdots p(a_r)$ con $p(k)$ numero di partizioni di $k$?
E' semplicemente questo? A me puzza un po'...non mi perderò qualcosa per strada? C'è un procedimento standard per questo tipo di esercizi?
ho soltanto un dubbio, che spero sia facile da chiarire:
Dato $|G|=n$, con , il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti mi dice che ogni gruppo abeliano finito è isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi, cioè:
$G \cong \prod_{i=1} ^r \mathbb{Z_{p_i^{a_i}}}$ dove $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}=n$ e per prodotto si intende il prodotto diretto.
Allora il numero di gruppi abeliani di ordine $n$ è il $p(a_1)p(a_2)\cdots p(a_r)$ con $p(k)$ numero di partizioni di $k$?
E' semplicemente questo? A me puzza un po'...non mi perderò qualcosa per strada? C'è un procedimento standard per questo tipo di esercizi?
Risposte
Io direi che va bene.
Riduciamo la domanda a gruppi abeliani il cui ordine e' una potenza di un primo $p^a$. Qesti sono tanti quante le partizioni di $a$.
Infatti se $(\alpha_1, ... , \alpha_r)$ e $(\beta_1,...,\beta_s)$ sono due partizioni di $a$ (quindi $\alpha_1 \ge .. \ge \alpha_s$ e $\beta_1 \ge ... \ge \beta_r$ e ciascuna delle due somme fa $a$) allora i gruppi $C_1 \times ... \times C_r$ con $C_j$ ciclico di ordine $p^{\alpha_j}$ e $D_1 \times ... \times D_s$ con $D_j$ ciclico di ordine $p^{\beta_j}$ non sono isomorfi (per il teorema di struttura, se si vuole usare un cannoncino, ma si fa anche a mano).
Riduciamo la domanda a gruppi abeliani il cui ordine e' una potenza di un primo $p^a$. Qesti sono tanti quante le partizioni di $a$.
Infatti se $(\alpha_1, ... , \alpha_r)$ e $(\beta_1,...,\beta_s)$ sono due partizioni di $a$ (quindi $\alpha_1 \ge .. \ge \alpha_s$ e $\beta_1 \ge ... \ge \beta_r$ e ciascuna delle due somme fa $a$) allora i gruppi $C_1 \times ... \times C_r$ con $C_j$ ciclico di ordine $p^{\alpha_j}$ e $D_1 \times ... \times D_s$ con $D_j$ ciclico di ordine $p^{\beta_j}$ non sono isomorfi (per il teorema di struttura, se si vuole usare un cannoncino, ma si fa anche a mano).
Grazie! Proverò a dimostrarlo a mano...
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