Dubbio sui sottogruppi normali

[DuxDjo]

Studiando i sottogruppi normali ho questa definizione:

Un sottogruppo $N$ di un gruppo $G$ si dice normale in $G$ se $Ng=gN$ , $AAginG$

Vi dico come l'ho capita io: preso un qualsiasi $ginG$, $EEn,m inN$ t.c. $ng=gm$
Fin qui è giusto?

Se fin qui è giusto, ho pensato nel caso uno prenda come $ninN$ l'elemento neutro $e$, allora scelto un qualsiasi $ginG$ posso sempre dire che $eg=g e$, per qualsiasi sottogruppo!
Ovviamente stò sbagliando, altrimenti tutti i sottogruppi sarebbero normali!
Non capisco dove sbaglio...

[Seneca1]

Forse è più intuitivo vederlo nel caso dei gruppi finiti.

$N = { x_1 , x_2 , ... , x_n }$

La definzione stabilisce che ${ x_1 , x_2 , ... , x_n }$ è normale se $AA g in G, { x_1 * g , x_2 * g , ... , x_n * g } = { g* x_1 , g * x_2 , ... , g * x_n }$.

Nota che ${ x_1 * g , x_2 * g , ... , x_n * g }$ (e l'altro) non sono necessariamente sottogruppi.


EDIT: Osservazione banale: se $G$ è un gruppo abeliano, allora tutti i sottogruppi $S subseteq G$ sono normali in $G$.