Dubbio sui sottogruppi

[bartel]

Determinare i sottogruppi di $ ZZ 4 $
So che un sottogruppo H si può definire tale se $ AA $ x,y che appartiene a H anche xy^-1 appartiene a H. Quindi posso dire che H = $ {0,2 } $ è sottogruppo.
Ma secondo il teorema di Lagrange i sottogruppi di un gruppo sono quelli il cui ordine divide l'ordine di G. Essendo ord( $ ZZ 4 $ ) = 4 , allora un sottogruppo è $ ZZ 2 $ che ha ordine 2.

Potreste dirmi dove ho sbagliato ? E come fare ad esempio a trovare i sottogruppi del gruppo diedrale D3 ?
Grazie in anticipo per l'aiuto

[uldi]

"Luca91":Determinare i sottogruppi di $ ZZ 4 $
So che un sottogruppo H si può definire tale se $ AA $ x,y che appartiene a H anche xy^-1 appartiene a H. Quindi posso dire che H = $ {0,2 } $ è sottogruppo.
Ma secondo il teorema di Lagrange i sottogruppi di un gruppo sono quelli il cui ordine divide l'ordine di G. Essendo ord( $ ZZ 4 $ ) = 4 , allora un sottogruppo è $ ZZ 2 $ che ha ordine 2.

Potreste dirmi dove ho sbagliato ? E come fare ad esempio a trovare i sottogruppi del gruppo diedrale D3 ?
Grazie in anticipo per l'aiuto

Per la prima parte: sono abbastanza sicuro che non valga la biimplicazione, cioè l'ordine di un sottogruppo divide necessariamente l'ordine del gruppo, ma non è vero che tutti i gruppi che dividono l'ordine di G sono sottogruppi di G.

Spero di essere stato abbastanza chiaro..

[bartel]

Ah ok chiarissimo.
Quindi l'unico sottogruppo di $ ZZ 4 $ è H = $ {0,2} $

Ma esiste un procedimento algoritmico per stabilire i sottogruppi o si deve andare ''a occhio'' ??

[uldi]

"Luca91":Ah ok chiarissimo.
Quindi l'unico sottogruppo di $ ZZ 4 $ è H = $ {0,2} $

Ma esiste un procedimento algoritmico per stabilire i sottogruppi o si deve andare ''a occhio'' ??

Il metodo che conosco funziona di sicuro per trovare i sottogruppi di $ZZ_n$, non so se sia una regola generale:

in pratica i sottogruppi di $ZZ_n$ sono i gruppi ciclici generati dagli elementi di $ZZ_n$: noterai che $0$ genera il sottogruppo banale ${0}$, gli elementi che dividono $n$ generano il sottogruppo banale $ZZ_n$, mentre gli elementi che non dividono $n$ generano i sottogruppi non banali.