Dubbio sui multipli

[Seldon1]

ragazzi avrei un dubbio...vorei sapere: se ho $m^2 = 6k$ o più in generale nk con n non primo,posso affermare che anche m sia un multiplo di n(in questo caso 6)?nel caso di n primo,sono sicuro di si, in questo modo infatti si dimostra l'irrazionalità di 2,3,7,ma con n non primo? facendo svariati tentativi e ragionandoci su mi viene da dire che anche con n non primo la proposizione rimane vera,ma non sono scuro...qualcuno può togliermi questo dubbio?

[chisigma]

Scomponendo m in fattori abbiamo $m= prod_{i} p_{i}^{\alpha_{i}}$ cosi' che e' $m^{2}=n\ k = prod_{i} p_{i}^{2\ \alpha_{i}}$. Se n non e' primo uno dei suoi fattori puo' essere $p_{i}^{j}$ con $\alpha_{i}< j \le 2\ \alpha_{i}$ e in tal caso n non divide m...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Seldon, quello che dici è vero in generale se [tex]n[/tex] è prodotto di primi distinti. Perché se [tex]n[/tex] è un prodotto di primi distinti e [tex]n[/tex] divide [tex]a^2[/tex] allora ogni primo che divide [tex]n[/tex] divide anche [tex]a[/tex] e quindi confrontando le fattorizzazioni in primi vediamo subito che [tex]n[/tex] divide [tex]a[/tex] (il punto è che se [tex]x,y[/tex] sono coprimi e dividono entrambi un intero [tex]b[/tex] allora anche [tex]xy[/tex] divide [tex]b[/tex]). Per esempio [tex]6=2 \cdot 3[/tex] è prodotto di primi distinti e quindi non hai problemi.

Prova a dimostrare in generale che se [tex]a[/tex] è un intero positivo allora [tex]\sqrt{a}[/tex] è irrazionale se e solo se [tex]a[/tex] non è un quadrato perfetto.