Dubbio sui gruppi
Salve
Sia dato il gruppo $S_3XZ_11$
Mi è venuto un dubbio. Un gruppo siffatto può avere elementi di ordine $2$ e $3$, sicuramente sono presenti in $S_3$ ma $Z_11$ è ciclico e non ha sottogruppi propri per Lagrange. Quindi non dovrebbe avere elementi ordine diverso da $11$, cioè ogni suo elemeto genera $Z_11$
Quindi non dovrebbe averne di ordine $2,3$
Spero di non aver detto cose imbarazzanti
Sia dato il gruppo $S_3XZ_11$
Mi è venuto un dubbio. Un gruppo siffatto può avere elementi di ordine $2$ e $3$, sicuramente sono presenti in $S_3$ ma $Z_11$ è ciclico e non ha sottogruppi propri per Lagrange. Quindi non dovrebbe avere elementi ordine diverso da $11$, cioè ogni suo elemeto genera $Z_11$
Quindi non dovrebbe averne di ordine $2,3$
Spero di non aver detto cose imbarazzanti
Risposte
Se consideri l'elemento $((1,2),1)$ che ordine ha?
"mistake89":
Se consideri l'elemento $((1,2),1)$ che ordine ha?
Intanto grazie
Ha ordine $2$, ma un altro elemento di ordine $2$ è anche $((1),10)$, $10$ infatti ha ordine $2$ in $Z_11$ essendo $10^2 = 1$ (Ho riletto bene la teoria
Quindi gli elementi di ordine $2$ dovrebbero essere $((1,2),1)$; $((1,3),1)$; $((2,3),1)$ e $((1),10)$, mentre quelli di ordine $3$ dovrebbero essere
$(1,2,3),1)$; $(1,3,2),1)$ e $((1),10)$
Che ne pensi?
In $ZZ_(11)$ non ci sono elementi di ordine $2$, perchè $2$ non divide $11$.
Spesso nelle notazioni si fa un po' di confusione. In genere il gruppo moltiplicativo ciclico di ordine $11$ è indicato con $C_(11)$, cioè l'insieme degli elementi $a^n$, con $a$ generatore del gruppo.
Se invece fai riferimento a $ZZ_(11)$, si presuppone che la sua operazione sia la $+$ e gli elementi sono i multipli della forma $na$ con $a$ generatore del gruppo.
Spesso, ed anche io sbaglio alle volte, si superano queste differenze a livello notazionale indicando con $ZZ_(11)$ il gruppo ciclico di ordine $11$ pur mantenente $1$ come elemento neutro. Formalmente ciò non è corretto.
Spesso nelle notazioni si fa un po' di confusione. In genere il gruppo moltiplicativo ciclico di ordine $11$ è indicato con $C_(11)$, cioè l'insieme degli elementi $a^n$, con $a$ generatore del gruppo.
Se invece fai riferimento a $ZZ_(11)$, si presuppone che la sua operazione sia la $+$ e gli elementi sono i multipli della forma $na$ con $a$ generatore del gruppo.
Spesso, ed anche io sbaglio alle volte, si superano queste differenze a livello notazionale indicando con $ZZ_(11)$ il gruppo ciclico di ordine $11$ pur mantenente $1$ come elemento neutro. Formalmente ciò non è corretto.
"mistake89":
In $ZZ_(11)$ non ci sono elementi di ordine $2$, perchè $2$ non divide $11$.
Spesso nelle notazioni si fa un po' di confusione. In genere il gruppo moltiplicativo ciclico di ordine $11$ è indicato con $C_(11)$, cioè l'insieme degli elementi $a^n$, con $a$ generatore del gruppo.
Se invece fai riferimento a $ZZ_(11)$, si presuppone che la sua operazione sia la $+$ e gli elementi sono i multipli della forma $na$ con $a$ generatore del gruppo.
Spesso, ed anche io sbaglio alle volte, si superano queste differenze a livello notazionale indicando con $ZZ_(11)$ il gruppo ciclico di ordine $11$ pur mantenente $1$ come elemento neutro. Formalmente ciò non è corretto.
Che casino, avevo detto bene all'inizio. Poi ho visto un esempio su $Z_5$ che diceva che per esempio l'elemento $2$ ha ordine $4$ perchè congruente a $1$ in $Z_5$.
Volevo capire l'ordine di un elemento deve dividere l'ordine del gruppoare . Ed è ciò che ricordavo.
Ma allora come devo interpretare quando si afferma che l'ordine dell'elemento è l'esponente tale che l'elemento è uguae a $1$
Sono un pò confuso ed ho l'esame a breve.
Se un gruppo è moltiplicativo allora la nozione di gruppo ciclico è $ ={g^n| n in NN}$
Se il gruppo è additivo allora $ ={ng|n in NN}$
Parliamo rispettivamente di multipli e potenze.
Ora in genere si tende a dire che l'ordine di un certo $g in G$ è il minimo $n$ tale che $g^n=1$. Questo ovviamente vale per i gruppi moltiplicativi. Per quelli additivi andrebbe riscritto dicendo che è il minimo $n$ tale che $ng=0$, poichè $0$ è l'elemento neutro di tale gruppo.
Se tu scrivi $ZZ_(11)$ solitamente intendi $(ZZ_(11),+)$, quindi il gruppo è additivo e l'elemento neutro è lo $0$. Devi perciò riportare il tutto in maniera additiva.
Se scrivi $CC_(11)$ indichi il gruppo $(CC_(11),*)$ moltiplicativo e quindi $1$ è l'elemento neutro.
E' solo una questione di notazione!
Se il gruppo è additivo allora $
Parliamo rispettivamente di multipli e potenze.
Ora in genere si tende a dire che l'ordine di un certo $g in G$ è il minimo $n$ tale che $g^n=1$. Questo ovviamente vale per i gruppi moltiplicativi. Per quelli additivi andrebbe riscritto dicendo che è il minimo $n$ tale che $ng=0$, poichè $0$ è l'elemento neutro di tale gruppo.
Se tu scrivi $ZZ_(11)$ solitamente intendi $(ZZ_(11),+)$, quindi il gruppo è additivo e l'elemento neutro è lo $0$. Devi perciò riportare il tutto in maniera additiva.
Se scrivi $CC_(11)$ indichi il gruppo $(CC_(11),*)$ moltiplicativo e quindi $1$ è l'elemento neutro.
E' solo una questione di notazione!
"mistake89":
Se un gruppo è moltiplicativo allora la nozione di gruppo ciclico è $={g^n| n in NN}$
Se il gruppo è additivo allora $={ng|n in NN}$
Parliamo rispettivamente di multipli e potenze.
Ora in genere si tende a dire che l'ordine di un certo $g in G$ è il minimo $n$ tale che $g^n=1$. Questo ovviamente vale per i gruppi moltiplicativi. Per quelli additivi andrebbe riscritto dicendo che è il minimo $n$ tale che $ng=0$, poichè $0$ è l'elemento neutro di tale gruppo.
Se tu scrivi $ZZ_(11)$ solitamente intendi $(ZZ_(11),+)$, quindi il gruppo è additivo e l'elemento neutro è lo $0$. Devi perciò riportare il tutto in maniera additiva.
Se scrivi $CC_(11)$ indichi il gruppo $(CC_(11),*)$ moltiplicativo e quindi $1$ è l'elemento neutro.
E' solo una questione di notazione!
ok, perfetto, adesso mi sono ricordato.
grazie
Considerando sempre gli elementi di ordine $2$ e $3$ in un gruppo Diedrale di ordine $33$, è corretto dire che di ordine $2$ c'è solo la riflessione $p$ poichè $p^2 =1$ e non ve ne sono altri (perchè nessuna rotazione al quadrato da $33$)? Invece di ordine $3$ ci dovrebbe essere la rotazione $r_11$ essendo che $(r_11)^3= r_33 = 1$?
Emanuele
Emanuele
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