Dubbio sui gruppi

[ilmatty98s]

Ho un dubbio riguardo i gruppi che preferisco esporre tramite un esempio.
Es. Dato il gruppo (Z*9,*) determinare se è ciclico.
Ho capito che un gruppo è ciclico se esiste un suo generatore. Allora ecco come procedo:
[1]=1^1=1..

[2]=2^1=2
=2^2=4
=2^3=8
=2^4=7
=2^5=5
=2^1=1

E così via...

Al termine di questo sono arrivato ad avere [2]=2,4,8,7,5,1 e [5]=5,7,8,4,2,1

Ora vedendo da un esempio su internet non capisco come facciamo [2] e [5] ad essere generatori visto che non generano il 3 e il 6.

Qualcuno potrebbe aiutarmi senza scrivermi la solita definizione di generatore o altro?

[spugna2]

Stai lavorando con gli interi modulo $9$ che sono coprimi con quest'ultimo, quindi $3$ e $6$ non appartengono al gruppo (e infatti non hanno un inverso moltiplicativo).

[ilmatty98s]

"spugna":Stai lavorando con gli interi modulo $9$ che sono coprimi con quest'ultimo, quindi $3$ e $6$ non appartengono al gruppo (e infatti non hanno un inverso moltiplicativo).

Grazie capito. Ma nel caso in cui dovessi lavorare sul gruppo degli inversi U(Z*9,*) e quindi verificare se è ciclico come dovrei procedere?

[Cantor99]

Provo a risponderti

Il nostro gruppo è
$U(ZZ_9)={[1]_9,[2]_9,[4]_9,[5]_9,[7]_9,[8]_9}$
E ha ordine 6. In questo caso potresti far vedere che esistono elementi di periodo 6 - facendo qualche conto.

(Ordinerò gli elementi come vedrai per $<<[2]_9>>$, cioè mettendo le potenze ordinate)

$<<[1]_9>>={[1]_9}$

$<<[2]_9>>={[2]_9^0=[1]_9,[2]_9^1=[2]_9,[2]_9^2=[4]_9,[2]_9^3=[8]_9,[2]_9^4=[7]_9,[2]_9^5=[5]_9}$

$<<[4]_9>>={[1]_9,[4]_9,[7]_9}$

$<<[5]_9>>={[1]_9,[5]_9,[7]_9,[8]_9,[4]_9,[2]_9}$

$<<[7]_9>>={[1]_9,[7]_9,[4]_9}$

$<<[8]_9>>={[1]_9,[8]_9}$

Quindi $U(ZZ_9)=<<[5]_9>> =<<[2]_9>>$ e il gruppo è cilcico.