Dubbio sugli inversi nelle classi di resto

[dotmanu]

E' vero che in $ZZ/(nZZ)$ a ammette inverso se e solo se è primo con n? Se sì, perchè?

Grazie

[Paolo902]

Sì, ed è proprio un "se e solo se".

Puoi dimostrare - è un facile esercizio - $bar a " invertibile in " ZZ_n iff (a,n)=1$

Idee: l'andata è facile. Sai che $a$ è invertibile quindi $EE b$ tale che $ab=1+kn$. Ora chiama $d=(a,n)$ e ricorda che l'MCD divide tutte le combinazioni lineari di $a$ e $n$.

Il ritorno: la parola magica è Bézout.

[dotmanu]

grazie per il suggerimento ma, stranamente, trovo più semplice il ritorno che l'andata, infatti:

$larr$
se $(a,n)=1$ $rArr$ $1=ax+nk$ $rArr$ $ax=1mod(n)$ è risolubile $rArr$ $a^(-1)=x$

$rarr$
andando avanti dal tuo ragionamento arrivo a dire che esistono $q$ e $q'$ tali che:
$d=(ab)q$, $d=(kn)q'$
da cui cui non riesco ad arrivare a dire che $d=1$

[Paolo902]

$bar a " invertibile in " ZZ_n => (a,n)=1$

Sai che $a$ è invertibile quindi $EE b in ZZ$ tale che $ab=1+kn$. Ora chiama $d=(a,n)$ e, ricordando che l'MCD divide tutte le combinazioni lineari di $a$ e $n$, hai che $d|ab-kn=1$ da cui $d=+-1$. Ma per definizione l'MCD è quello positivo.