Dubbio su una dimostrazione.
Salve a tutti; avrei un dubbio su una dimostrazione: dati due insiemi A,B ed un'applicazione $f:A->B$ provare che $f$ è iniettiva se e soltanto se esiste un'applicazione $g:B->A$ tale che $g(f)=i_A$ con $i_A$= applicazione identica di A in A. Partendo dal presupposto che una funzione si dice iniettiva se e solo se $x_1=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$; parto da un assurdo: supponiamo che sia $x_1!=x_2$ allora $f(x_1)=f(x_2)$ e che quindi la funzione non sia iniettiva. Allora per ipotesi abbiamo che $g(f(x_1))=g(f(x_2)$. Ma questo equivale a dire che $x_1=x_2$; siamo caduti in contraddizione e dunque $f$ è iniettiva. Ho tralasciato qualcosa?
Questa specie di proprietà non corrisponde più o meno alle equazioni di definizione della funzione inversa? Se così fosse non bisognerebbe aggiungere anche che ad ogni $(g(f_n))$ corrisponde uno ed un solo $x_n$? Poiché se così non fosse la funzione sarebbe suriettiva anziché iniettiva. Spero di essermi spiegato bene. Grazie a tutti!
Questa specie di proprietà non corrisponde più o meno alle equazioni di definizione della funzione inversa? Se così fosse non bisognerebbe aggiungere anche che ad ogni $(g(f_n))$ corrisponde uno ed un solo $x_n$? Poiché se così non fosse la funzione sarebbe suriettiva anziché iniettiva. Spero di essermi spiegato bene. Grazie a tutti!
Risposte
La definizione di iniettività afferma che se $x_1\ne x_2$ allora $f(x_1)\ne f(x_2)$, non quello che hai scritto tu. Ciò che puoi usare, in forma equivalente, è che se $f(x_1)=f(x_2)$ ed $f$ è iniettiva allora deve essere pure $x_1=x_2$.
Il dimostrare per assurdo è corretto: ma stai partendo dalla premessa sbagliata.
Il dimostrare per assurdo è corretto: ma stai partendo dalla premessa sbagliata.
Per cui dovrei partire dal presupposto che se $x_1!=x_2$ e $f(x_1)!=f(x_2)$ allora f è iniettiva. E dopo posso considerare un $x_1!=x_2$ tale che $f(x_1)=f(x_2)$, ed il resto della dimostrazione fila?
Aggiornamento: per quanto riguarda la definizione equivalente di funzione iniettiva, ahimè ho interpretato malamente gli appunti...
Aggiornamento: per quanto riguarda la definizione equivalente di funzione iniettiva, ahimè ho interpretato malamente gli appunti...
Guarda, in ogni caso mi sa che fai confusione. Tu vuoi dimostrare quanto segue: Sia data $f:A\rightarrow B$.
$f$ è iniettiva $\Leftrightarrow$ esiste $g:B\rightarrow A$ tale che $g(f)=i_A$.
Ora, inizia a dimostrare l'implicazione $\Rightarrow$: supponi che $f$ sia iniettiva e dimostra l'esistenza di $g$: come fai? Perché quel metodo per assurdo (con le opportune modifiche) va bene se vuoi dimostrare l'altra implicazione ($\Leftarrow$) visto che per ipotesi supponi esista $g$ e dimostri che $f$ è iniettiva.
$f$ è iniettiva $\Leftrightarrow$ esiste $g:B\rightarrow A$ tale che $g(f)=i_A$.
Ora, inizia a dimostrare l'implicazione $\Rightarrow$: supponi che $f$ sia iniettiva e dimostra l'esistenza di $g$: come fai? Perché quel metodo per assurdo (con le opportune modifiche) va bene se vuoi dimostrare l'altra implicazione ($\Leftarrow$) visto che per ipotesi supponi esista $g$ e dimostri che $f$ è iniettiva.
@Francesco.
Naturalmente Ciampax ha scovato subito le prime difficoltà,concettuali e tecniche,
che stai incontrando nell'approcciarti a questi concetti con l'ottica,un pò più "elevata",alla quale si vuole che tu giunga:
d'altronde è il suo mestiere,
e tu fà dunque tesoro del suo consiglio e di quest'esperienza
(che chissà quante volte si ripeterà nella tua carriera universitaria..)!
Andando sul pratico ti dico che,se ben ricordo(e sopratutto se ho ben riconosciuto "la mano"..),
la verifica della tua Proposizione la trovi nei primi capitoli dell'eserciziario di Algebra Ragusa-Sparracino:
se mi sbaglio,e/o se nel frattempo non hai ancora risolto,fà un fischio
.
Saluti dal web.
P.S.Ben arrivato..
Naturalmente Ciampax ha scovato subito le prime difficoltà,concettuali e tecniche,
che stai incontrando nell'approcciarti a questi concetti con l'ottica,un pò più "elevata",alla quale si vuole che tu giunga:
d'altronde è il suo mestiere,
e tu fà dunque tesoro del suo consiglio e di quest'esperienza
(che chissà quante volte si ripeterà nella tua carriera universitaria..)!
Andando sul pratico ti dico che,se ben ricordo(e sopratutto se ho ben riconosciuto "la mano"..),
la verifica della tua Proposizione la trovi nei primi capitoli dell'eserciziario di Algebra Ragusa-Sparracino:
se mi sbaglio,e/o se nel frattempo non hai ancora risolto,fà un fischio
.Saluti dal web.
P.S.Ben arrivato..
Ho capito... è come se fossi arrivato alla soluzione senza aver prima dimostrato la "premessa". Provo a farlo: diciamo che f è iniettiva; allora sia $C={yinB:EEx$$in$$A,f(x)=y}$ con x unico per ogni y dal momento che f è iniettiva per ipotesi. Definendo la funzione g su C si ha allora che $g(y)=x$ e quindi che $g(f(x))=x$ e quindi che $g(f)=i_a$. Per cui esiste una funzione g con questa proprietà se f è iniettiva. Potrebbe andare bene oppure ho dimenticato qualcosa?
@theras: grazie mille dell'incoraggiamento: è che questo tipo di dimostrazioni mi sembrano "strane" non so come definirlo... e mi fanno pensare che non sia poi tanto portato per la materia xD. Non so se mi spiego
@theras: grazie mille dell'incoraggiamento: è che questo tipo di dimostrazioni mi sembrano "strane" non so come definirlo... e mi fanno pensare che non sia poi tanto portato per la materia xD. Non so se mi spiego
Stà attento,Francesco:
nella tesi della parte necessaria della tua caratterizzazione è scritto che $g$ è definita in tutto $B$,
e non nel solo $C$ da tè introdotto
(che in generale mica è detto coincida con $B$..)!
Sei su una buona strada,però:
ora ti tocca un piccolo mal di testa,che ti sarà molto utile in futuro,
per portarla a compimento ed iniziare a prendere la dovuta familiarità con certe "stranezze"..
Saluti dal web.
nella tesi della parte necessaria della tua caratterizzazione è scritto che $g$ è definita in tutto $B$,
e non nel solo $C$ da tè introdotto
(che in generale mica è detto coincida con $B$..)!
Sei su una buona strada,però:
ora ti tocca un piccolo mal di testa,che ti sarà molto utile in futuro,
per portarla a compimento ed iniziare a prendere la dovuta familiarità con certe "stranezze"..
Saluti dal web.
Scusate ma continuo a non capire: se io dovessi prendere in considerazione anche gli elementi di $B-A$ e ne facessi la rispettiva funzione $g(B-A)$; questo non significherebbe associare a tutte le x appartenenti ad A oltre che alle y appartenenti a C anche tutti gli elementi y' di $B-A$? Non andremmo contro la definizione di funzione?
Ciao Francesco, temo di sia sfuggito un segno del dollaro in più o in meno, puoi correggere per favore?
Si scusatemi, ho corretto...
Francesco,vorrei farti notare una cosa:
nell'ipotesi della parte necessaria,quali risposte può avere la domanda
"E' vera l'uguaglianza insiemistica $imf=B$
(o quella,equivalente ma scritta solo con simboli diversi d'ugual significato,$f(A)=B$..)?"?
Direi solo "si"
(ed in quel caso trovare la $g$ richiesta dalla ts mi par immediato,
dato che a quel punto,vista l'hp,$f$ sarebbe per definizione addirittura biiettiva..),
oppure(in senso esclusivo,cioè in quello della porta logica XOR..)"no":
in quest'ultimo caso,dato che sarà certamente vero come $A ne emptyset$,
puoi scegliere un elemento $a$ di $A$?
Direi di si
(è una risposta ovvia,per ora,ma stà ben tranquillo che,se non l'hanno già fatto,
a breve arriverà a complicartela il Sig. Zermelo o i suoi equivalenti
..);
nell' evenienza attualmente in esame,
indicato allora con $f^(-1)(y)$($in A$..)quella che,nell'hp fatta d'iniettività di $f$,
è l'unico elemento di A controimmagine del generico elemento $y in f(A)$($subset B$..)
(attento a non confondere simboli analoghi che magari hai adottato da poco..),
è ben definita la $g:B to A$ $t.c.$ $g(y)=f^(-1)(y)$ $se$ $y in imf$ $e$ $g(y)=a$ $se$ $y !in imf$
(e quì rispondere t'interessa e come,
ma forse non occorre dirtelo perchè mi sembra che quest'esigenza tu l'abbia sentita già,ed è un bene,
benchè su una g non idonea ai tuoi fini..)?
Se si,Perchè?
Se no,Perchè?
E.ammesso che lo sia,è iniettiva tal funzione
(non t'interessa rispondere,ai tuoi fini attuali,ma non sarebbe male farlo ugualmente,
tenendo conto che pure quì devi far "saltare fuori" dalla tua analisi casi opportuni da analizzare separatamente,
ovvero potrebbe scattare qualche altro mal di testa "costruttivo"..)?
Se lo è,Perchè?
E se non lo è,Perchè?
E se lo è solo in certe condizioni,Perchè?
E' suriettiva
(come sopra..)?
E' vero che $g[f(x)]=x$ $AAx inA$?
Certo che se quest'ultima fosse vera sarebbe un fatto decisivo,poichè avresti trovato la funzione che cercavi nella tua tesi:
ma perchè dovrebbe esserlo
(la risposta a questa domanda,a questo punto non difficilissima,
è ridotta,allo stato attuale della nostra analisi del problema,ad essere fulcrale nella tua dimostrazione..)?
Buone riflessioni,
sopratutto sulle ragioni per le quali insisto a scriver quel fondamentale avverbio interrogativo con la maiuscola iniziale :
saluti dal web.
P.S.Da dove è nata tutta stà tiritera?
Dall'aver notato che c'era una condizione,aggiuntiva alle hp,che mi rendeva la tesi immediata conseguenza di concetti noti:
e dal non essermi arreso davanti alle eventualità,che a quel punto m'ero opportunamente preoccupato di capire a fondo,
in cui quelle condizioni aggiuntive non potevano verificarsi..
nell'ipotesi della parte necessaria,quali risposte può avere la domanda
"E' vera l'uguaglianza insiemistica $imf=B$
(o quella,equivalente ma scritta solo con simboli diversi d'ugual significato,$f(A)=B$..)?"?
Direi solo "si"
(ed in quel caso trovare la $g$ richiesta dalla ts mi par immediato,
dato che a quel punto,vista l'hp,$f$ sarebbe per definizione addirittura biiettiva..),
oppure(in senso esclusivo,cioè in quello della porta logica XOR..)"no":
in quest'ultimo caso,dato che sarà certamente vero come $A ne emptyset$,
puoi scegliere un elemento $a$ di $A$?
Direi di si
(è una risposta ovvia,per ora,ma stà ben tranquillo che,se non l'hanno già fatto,
a breve arriverà a complicartela il Sig. Zermelo o i suoi equivalenti
..);nell' evenienza attualmente in esame,
indicato allora con $f^(-1)(y)$($in A$..)quella che,nell'hp fatta d'iniettività di $f$,
è l'unico elemento di A controimmagine del generico elemento $y in f(A)$($subset B$..)
(attento a non confondere simboli analoghi che magari hai adottato da poco..),
è ben definita la $g:B to A$ $t.c.$ $g(y)=f^(-1)(y)$ $se$ $y in imf$ $e$ $g(y)=a$ $se$ $y !in imf$
(e quì rispondere t'interessa e come,
ma forse non occorre dirtelo perchè mi sembra che quest'esigenza tu l'abbia sentita già,ed è un bene,
benchè su una g non idonea ai tuoi fini..)?
Se si,Perchè?
Se no,Perchè?
E.ammesso che lo sia,è iniettiva tal funzione
(non t'interessa rispondere,ai tuoi fini attuali,ma non sarebbe male farlo ugualmente,
tenendo conto che pure quì devi far "saltare fuori" dalla tua analisi casi opportuni da analizzare separatamente,
ovvero potrebbe scattare qualche altro mal di testa "costruttivo"..)?
Se lo è,Perchè?
E se non lo è,Perchè?
E se lo è solo in certe condizioni,Perchè?
E' suriettiva
(come sopra..)?
E' vero che $g[f(x)]=x$ $AAx inA$?
Certo che se quest'ultima fosse vera sarebbe un fatto decisivo,poichè avresti trovato la funzione che cercavi nella tua tesi:
ma perchè dovrebbe esserlo
(la risposta a questa domanda,a questo punto non difficilissima,
è ridotta,allo stato attuale della nostra analisi del problema,ad essere fulcrale nella tua dimostrazione..)?
Buone riflessioni,
sopratutto sulle ragioni per le quali insisto a scriver quel fondamentale avverbio interrogativo con la maiuscola iniziale
:saluti dal web.
P.S.Da dove è nata tutta stà tiritera?
Dall'aver notato che c'era una condizione,aggiuntiva alle hp,che mi rendeva la tesi immediata conseguenza di concetti noti:
e dal non essermi arreso davanti alle eventualità,che a quel punto m'ero opportunamente preoccupato di capire a fondo,
in cui quelle condizioni aggiuntive non potevano verificarsi..
Credo di aver capito (credo 
). Provo a fare una dimostrazione tutta mia (ho riletto il quesito attentamente ed ho provato a dimostrare che f è iniettiva se e solo se esiste $g:B->A$ tale che $g(f)=i_A$). Se io considero tutti gli $f(A)$ che sono immagini di A tramite f e contenuti in B chiamiamo allora C l'insieme degli $f(A)$ contenuti in B. Ora definisco l'insieme $B-C$ che sarebbero ovviamente tutti quegli elementi che non appartengono ad $f(A)$. Posso definire una nuova funzione $g:B->A$?? Ovviamente direi di si. Cioé credo di poter fare in modo che ad ogni elemento appartenente a C faccia corrispondere uno ed un solo elemento di A (in virtù dell'iniettività di f). Mentre ai restanti elementi di B ($B-C$) faccio corrispondere un generico elemento $x'$ che comunque appartiene ad A (Domanda: posso dire dunque che $f:B->A$ è suriettiva? Io direi di si. Ma è sempre meglio chiedere ). E ma allora per costruzione se io facessi $g(f)$ otterrei che è uguale ad una applicazione identica di A in A! E quindi "l'ipotesi" è dimostrata. Ora che ho l'ipotesi posso dimostrare finalmente la tesi. Dimostro dunque che se f è iniettiva allora ne deve conseguire che $g(f)=i_A$. Suppongo dunque che f non sia iniettiva. Dunque esistono $x_1!=x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ ciò significa che $g(f(x_1))$ e $g(f(x_2))$ sono uguali quindi che $x_1=x_2$ contro l'ipotesi. Allora PENSO di aver concluso la dimostrazione. Se è un lieto fine, ringrazio tutti ed, in particolare, theras per il prezioso supporto che mi ha offerto in questi giorni..
). Provo a fare una dimostrazione tutta mia (ho riletto il quesito attentamente ed ho provato a dimostrare che f è iniettiva se e solo se esiste $g:B->A$ tale che $g(f)=i_A$). Se io considero tutti gli $f(A)$ che sono immagini di A tramite f e contenuti in B chiamiamo allora C l'insieme degli $f(A)$ contenuti in B. Ora definisco l'insieme $B-C$ che sarebbero ovviamente tutti quegli elementi che non appartengono ad $f(A)$. Posso definire una nuova funzione $g:B->A$?? Ovviamente direi di si. Cioé credo di poter fare in modo che ad ogni elemento appartenente a C faccia corrispondere uno ed un solo elemento di A (in virtù dell'iniettività di f). Mentre ai restanti elementi di B ($B-C$) faccio corrispondere un generico elemento $x'$ che comunque appartiene ad A (Domanda: posso dire dunque che $f:B->A$ è suriettiva? Io direi di si. Ma è sempre meglio chiedere ). E ma allora per costruzione se io facessi $g(f)$ otterrei che è uguale ad una applicazione identica di A in A! E quindi "l'ipotesi" è dimostrata. Ora che ho l'ipotesi posso dimostrare finalmente la tesi. Dimostro dunque che se f è iniettiva allora ne deve conseguire che $g(f)=i_A$. Suppongo dunque che f non sia iniettiva. Dunque esistono $x_1!=x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ ciò significa che $g(f(x_1))$ e $g(f(x_2))$ sono uguali quindi che $x_1=x_2$ contro l'ipotesi. Allora PENSO di aver concluso la dimostrazione. Se è un lieto fine, ringrazio tutti ed, in particolare, theras per il prezioso supporto che mi ha offerto in questi giorni..
Qualcosa di buono inizia a vedersi chiaramente:
ma devi sistemare la terminologia
(ad ex il verso $rArr$ d'una caratterizzazione,
o equivalenza logica che dir si voglia,
vien chiamato "parte necessaria" e non "ipotesi",
mentre l'altro verso è denominato "parte sufficiente" e non "tesi"..),
la simbologia
($f(A)$ è una cosa ed $f(a)$,
con $a inA$,un'altra,
sebbene la prima nasca grazie alla seconda..)
e riordinare un pò più linearmente le tue buone idee
(sebbene,in tal senso,
è un consiglio ke dovrei + dar a me stesso!)!
Quella $g$ che dici
(mi sà che t'è scappato di chiamarla $f$,
da qualche parte..),
pur opportuna per i tuoi fini principali,
mi sembra che sarebbe suriettiva solo se l'elemento
$x in A$',
che hai ben coinvolto nella sua legge di definizione suddivisa per casi
(a tal proposito mi chiedo perché dubiti di poter adottare tale strategia d'introduzione della $g$..),
fosse l'unico elemento di $A$ che non è controimmagine tramite $f$ d'alcun elemento di $B$:
conta comunque poco,
ai fini della verifica della P.N,
ma è così?
E,nel caso,Perché?
Sulla P.S ci siamo,direi
(a parte la denominazione,
errore veniale ma non troppo,
e l'errore capitale,
che spero di battitura,
d'averne scambiato hp e ts..):
lieto fine parziale,insomma,
ma tanto nella Conoscenza è più opportuno il
"To be continued"..
Saluti dal web.
ma devi sistemare la terminologia
(ad ex il verso $rArr$ d'una caratterizzazione,
o equivalenza logica che dir si voglia,
vien chiamato "parte necessaria" e non "ipotesi",
mentre l'altro verso è denominato "parte sufficiente" e non "tesi"..),
la simbologia
($f(A)$ è una cosa ed $f(a)$,
con $a inA$,un'altra,
sebbene la prima nasca grazie alla seconda..)
e riordinare un pò più linearmente le tue buone idee
(sebbene,in tal senso,
è un consiglio ke dovrei + dar a me stesso!)!
Quella $g$ che dici
(mi sà che t'è scappato di chiamarla $f$,
da qualche parte..),
pur opportuna per i tuoi fini principali,
mi sembra che sarebbe suriettiva solo se l'elemento
$x in A$',
che hai ben coinvolto nella sua legge di definizione suddivisa per casi
(a tal proposito mi chiedo perché dubiti di poter adottare tale strategia d'introduzione della $g$..),
fosse l'unico elemento di $A$ che non è controimmagine tramite $f$ d'alcun elemento di $B$:
conta comunque poco,
ai fini della verifica della P.N,
ma è così?
E,nel caso,Perché?
Sulla P.S ci siamo,direi
(a parte la denominazione,
errore veniale ma non troppo,
e l'errore capitale,
che spero di battitura,
d'averne scambiato hp e ts..):
lieto fine parziale,insomma,
ma tanto nella Conoscenza è più opportuno il
"To be continued"..
Saluti dal web.
Ma se io ho imposto che $f(A)$ appartenga a B ciò non vuol dire che di A non ho lasciato fuori alcun elemento?? L'x a piacere a chi potrebbe appartenere se non ad A? Se io impongo su $B-C$ la funzione da B ad A che mi collega gli elementi di B-C ad un elemento di a piacere di A; ciò non significa che tale x appartiene senz'altro a $f^-1(A)$? Cosa ho sbagliato nella P.N.?
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