Dubbio su un esercizio sui gruppi

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Sia $G$ un gruppo qualsiasi (dotato di notazione moltiplicativa) ed $ainG$ un suo elemento. Sia $phi:ZZ->G$ l'applicazione definita da $phi(n)=a^n$. Si prova che $phi$ è un omomorfismo del gruppo additivo $(ZZ,+)$ in $G$ (e l'ho provato!).
Adesso devo provare che se $a$ ha ordine infinito e $G=G(a)$ è ciclico generato $a$, allora $phi$ è un isomorfismo.
Come posso fare? Dovrei provare l'iniettività e la suriettività, ma come sfrutto le ipotesi assegnate?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[vict85]

Iniettività: prova per assurdo che $ker(f)$ è $\{0\}$.

Suriettività: Se $g \in G(a)$ allora esiste $n$ tale che $a^n=g$ e quindi $\phi(n) = g$

[Andrea902]

Iniettività: se per assurdo esistesse $x inker (f) : x!=0$ allora: $phi(x)=x^n=e$ con $e$ elemento neutro di $G=G(a)$. Ma ciò è assurdo perchè $x^ninG$ ha ordine infinito. Giusto?

[Gatto891]

"Andrea90":Ma ciò è assurdo perchè $x^ninG$ ha ordine infinito.

Io giustificherei meglio questo.

[Andrea902]

e come?

[deserto1]

"Andrea90":Iniettività: se per assurdo esistesse $x inker (f) : x!=0$ allora: $phi(x)=x^n=e$ con $e$ elemento neutro di $G=G(a)$. Ma ciò è assurdo perchè $x^ninG$ ha ordine infinito. Giusto?

Sistemerei un po' i simboli utilizzati:
supponiamo che $n in ker (\phi) : n>0$, allora: $e=\phi(n)=a^n$ con $e$ elemento neutro di $G=$. Ciò significa che $o(a)<=n$ con $n!=0$ che è assurdo poichè $a$ ha ordine infinito.
Nel caso in cui $n in ker (\phi) : n<0$ è sufficiente considerare $-m=n$ per arrivare ugualmente all'assurdo.
Pertanto deve essere $ker (\phi)={0}$ e quindi $\phi$ è iniettiva.

[Andrea902]

Perfetto. Tutto chiaro!
Grazie.