Dubbio su quoziente e resto
Stavo riflettendo sulla relazione di congruenza modulo $n$: questa è una relazione di equivalenza e genera una partizione su tutto $ZZ$, e quindi nelle classi ci sono anche i numeri negativi.
Per l'esistenza e l'unicità di quoziente e resto in $ZZ$, qualsiasi numero $a in ZZ$ lo posso scrivere come $a=bq+r$, dove $b$ è il divisore, $q$ il quoziente e $r$ il resto, con $0<=r<|b|$.
Fintanto che considero $a$ positivo il concetto è chiarissimo, ad esempio se $a = 1$ e lo divido per 4 ottengo $1=4*0+1$ e quindi $1-= 5 (mod 4) -= 9 (mod 4) -=...$, però quando $a$ è negativo c'è qualcosa che non mi torna. Se considero ad esempio $-3$, si ha $-3 -= 1 mod (4)$, ma quando vado a fare la divisione tra $-3$ e $4$ come lo devo scrivere $-3$? A me verrebbe naturale scriverlo come $-3=-1*4+1$, però il quoziente ovviamente dovrebbe essere $0$ e non $-1$[nota]Oppure in $ZZ$ $-3 : 4$ fa $-1$ resto $1/4$ e l'unica mia difficoltà
è quella di non aver mai concepito la divisione in un insieme che non fosse $RR$. Ad esempio in $ZZ$ $-5:3 = -2 + 1/3$ e quindi è corretto dire che $-5 -= 1 (mod 3)$[/nota].
Sono sicuro sia un dubbio stupido, però non mi è chiarissima questa cosa.
Per l'esistenza e l'unicità di quoziente e resto in $ZZ$, qualsiasi numero $a in ZZ$ lo posso scrivere come $a=bq+r$, dove $b$ è il divisore, $q$ il quoziente e $r$ il resto, con $0<=r<|b|$.
Fintanto che considero $a$ positivo il concetto è chiarissimo, ad esempio se $a = 1$ e lo divido per 4 ottengo $1=4*0+1$ e quindi $1-= 5 (mod 4) -= 9 (mod 4) -=...$, però quando $a$ è negativo c'è qualcosa che non mi torna. Se considero ad esempio $-3$, si ha $-3 -= 1 mod (4)$, ma quando vado a fare la divisione tra $-3$ e $4$ come lo devo scrivere $-3$? A me verrebbe naturale scriverlo come $-3=-1*4+1$, però il quoziente ovviamente dovrebbe essere $0$ e non $-1$[nota]Oppure in $ZZ$ $-3 : 4$ fa $-1$ resto $1/4$ e l'unica mia difficoltà
è quella di non aver mai concepito la divisione in un insieme che non fosse $RR$. Ad esempio in $ZZ$ $-5:3 = -2 + 1/3$ e quindi è corretto dire che $-5 -= 1 (mod 3)$[/nota].
Sono sicuro sia un dubbio stupido, però non mi è chiarissima questa cosa.
Risposte
Non ti è chiara perché "dividi" i numeri come alle elementari, pensando che l'operazione di "divisione" sia definita...
"megas_archon":
pensando che l'operazione di "divisione" sia definita...
Quindi sbaglio perché penso alla divisibilità come ad un'operazione quando è un'altra cosa?
Per spiegare il concetto in modo elementare e facilmente comprensibile da chiunque, infatti, preferisco sempre considerare la sottrazione. Poniamo che l'intero dato sia positivo in partenza, allora inizi a sottrarre l'argomento del modulo al numero assegnato... prosegui finché non otterrai un numero non negativo minore del modulo stesso, a quel punto puoi proseguire e otterrai sempre elementi di $\mathbb{Z}^-$ che però, per costruzione, apparterranno alla classe di congruenza precedente (tra l'altro, uso questo fatto in modo esteso nel mio ultimo articolo sul numero di Graham che ho già linkato in un thread diverso... può essere utile come prova di comprensione personale, giacché lì gli effetti sono meno immediati da cogliere).
Ti ringrazio Marco. Riprendendo l'esempio della congruenza mod 4, sapevo già che, ad esempio, valesse $-1 -=3 (mod 4)$; piuttosto non mi sembrava intuitivo che il quoziente tra $-1$ e $4$ fosse proprio $-1$, in $ZZ$, con resto $3$; sicuramente ho alcune lacune, che spero riuscirò a colmare andando avanti con gli studi.
Capire com'è fatta una generica classe di equivalenza è ovviamente molto facile.
Capire com'è fatta una generica classe di equivalenza è ovviamente molto facile.
"HowardRoark":
Ti ringrazio Marco. Riprendendo l'esempio della congruenza mod 4, sapevo già che, ad esempio, valesse $-1 -=3 (mod 4)$; piuttosto non mi sembrava intuitivo che il quoziente tra $-1$ e $4$ fosse proprio $-1$, in $ZZ$, con resto $3$; sicuramente ho alcune lacune, che spero riuscirò a colmare andando avanti con gli studi.
Capire com'è fatta una generica classe di equivalenza è ovviamente molto facile.
Figurati.
L'idea che puoi ricavare immediatamente da quanto ho scritto è che se $-1 \equiv 3 (mod 4)$, allora varrà anche $4-1 \equiv -1 (mod 4) \Rightarrow 3 \equiv -1 (mod 4) \Rightarrow -1 \equiv 3 (mod 4)$.
Se poi vuoi provare a ragionare ancora più a fondo su tutto questo con numeri impossibili da immaginare concretamente, ma di cui puoi solo stabilire in modo agevole chi è maggiore di chi, ecco qui l'articolo di cui ti parlavo in versione preprint: https://arxiv.org/pdf/2411.00015.
Ora, se confronti l'ultima relazione di cui a fine pag. 7 e l'ultimo periodo delle conclusioni, noterai che abbiamo una cosa del tipo: "Sia $a>b$, l'$m$-esima cifra da destra di $a-b$ è pari all'$m$-esima cifra da destra di $b-a$"; quest'ultima differenza è però un intero negativo... e non è più vero che se $a-b \equiv 4 \cdot 10^{m-1} (mod 10^{m})$, allora anche $b-a \equiv 4 \cdot 10^{m-1} (mod 10^{m})$ (immagina che $m$ qui sostituisca un altro numero immenso); tuttavia (per quanto visto) è immediato dedurre che se $a-b \equiv 4 \cdot 10^{m-1} (mod 10^{m})$ è vera, allora $b-a \equiv (10-4) \cdot 10^{m-1} (mod 10^{m})$ seguirà.
"HowardRoark":
[quote="megas_archon"] pensando che l'operazione di "divisione" sia definita...
Quindi sbaglio perché penso alla divisibilità come ad un'operazione quando è un'altra cosa?[/quote] La divisibilità è una relazione (d'ordine parziale), non un'operazione.
"marcokrt":
Se poi vuoi provare a ragionare ancora più a fondo su tutto questo con numeri impossibili da immaginare concretamente, ma di cui puoi solo stabilire in modo agevole chi è maggiore di chi, ecco qui l'articolo di cui ti parlavo in versione preprint: https://arxiv.org/pdf/2411.00015.
Mi sopravvaluti
. Diciamo che adesso sono alle prese con cose ben più semplici da capire che comunque mi creano delle difficoltà, magari leggerò i tuoi paper quando sarò in grado di capirli!
"megas_archon":
La divisibilità è una relazione (d'ordine parziale), non un'operazione.
Questo è in effetti molto semplice e me lo devo stampare in testa.
"marcokrt":
apparterranno alla classe di congruenza precedente (tra l'altro, uso questo fatto in modo esteso nel mio ultimo articolo sul numero di Graham che ho già linkato in un thread diverso... può essere utile come prova di comprensione personale, giacché lì gli effetti sono meno immediati da cogliere).
"marcokrt":
Se poi vuoi provare a ragionare ancora più a fondo su tutto questo con numeri impossibili da immaginare concretamente, ma di cui puoi solo stabilire in modo agevole chi è maggiore di chi, ecco qui l'articolo di cui ti parlavo in versione preprint: https://arxiv.org/pdf/2411.00015.
2 interventi, 2 spam. 'nough said.
Ma poi, il ragazzo ha appena cominciato il tema divisione modulo, tu gli spammi i tuoi "paper"-polpettone?
"HowardRoark":
Riprendendo l'esempio della congruenza mod 4, sapevo già che, ad esempio, valesse $-1 -=3 (mod 4)$; piuttosto non mi sembrava intuitivo che il quoziente tra $-1$ e $4$ fosse proprio $-1$, in $ZZ$, con resto $3$
Il punto è che non sai come funziona la divisione intera.
Fossi in te, me lo studierei: ci dovrebbe essere su ogni libro di Algebra.
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