Dubbio su permutazioni e coniugio delle stesse
Innanzitutto ho la permuatazione $sigma$ così espressa:
$sigma = (156)(24)(16)$
che (ditemi se sbaglio) vista come composizione di permutazioni (funzioni) posso riscrivere come:
$sigma = (15)(24)$
a questo punto mi viene chiesto di dire se la permutazione $sigma$ è coniugata alla permutazione $tau = (123)$
per rispondere a tale quesito ho ragionato nel seguente modo:
so che esiste una preposizione (non so se la si può definire come teorema) che afferma "Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica"
e guardando il mio caso mi è sorto qualche dubbio...
a prima occhiata vedendo che:
$sigma = (15)(24)$
è formata da due 2-cicli (trasposizioni)
mentre
$tau = (123)$
è formata da un 3-ciclo
mi verrebbe da dire che allora non sono coniugate poichè non hanno la stessa struttura ciclica
ma se riscrivessi $tau$ come prodotto di trasposizioni?cioè riscrivo come:
$tau = (12)(13)$
guardando qui mi verrebbe da dire che sono coniugate...dunque?qual è il ragionamento corretto? ( anche se penso sia il primo,andrebbe considerata la rappresentazione in cicli disgiunti e non l'artefizio della rappresentazione via trasposizioni...ma magari mi sbaglio)
$sigma = (156)(24)(16)$
che (ditemi se sbaglio) vista come composizione di permutazioni (funzioni) posso riscrivere come:
$sigma = (15)(24)$
a questo punto mi viene chiesto di dire se la permutazione $sigma$ è coniugata alla permutazione $tau = (123)$
per rispondere a tale quesito ho ragionato nel seguente modo:
so che esiste una preposizione (non so se la si può definire come teorema) che afferma "Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica"
e guardando il mio caso mi è sorto qualche dubbio...
a prima occhiata vedendo che:
$sigma = (15)(24)$
è formata da due 2-cicli (trasposizioni)
mentre
$tau = (123)$
è formata da un 3-ciclo
mi verrebbe da dire che allora non sono coniugate poichè non hanno la stessa struttura ciclica
ma se riscrivessi $tau$ come prodotto di trasposizioni?cioè riscrivo come:
$tau = (12)(13)$
guardando qui mi verrebbe da dire che sono coniugate...dunque?qual è il ragionamento corretto? ( anche se penso sia il primo,andrebbe considerata la rappresentazione in cicli disgiunti e non l'artefizio della rappresentazione via trasposizioni...ma magari mi sbaglio)
Risposte
Non vorrei sbagliare ma il prodotto $sigma=(156)(24)(16)$ dovrebbe essere uguale a $(24)(56)$ che corrisponde alla permutazione $sigma=((1,2,3,4,5,6),(1,4,3,2,6,5))$.
Posso sbagliarmi ma secondo me ha ragione zipangulu...
$ (156)(24)(16) = (15)(16)(24)(16)=(15)(16)^2(24) =(15)(24) $
Concordo anche su questo.
$ (156)(24)(16) = (15)(16)(24)(16)=(15)(16)^2(24) =(15)(24) $
andrebbe considerata la rappresentazione in cicli disgiunti e non l'artefizio della rappresentazione via trasposizioni..
Concordo anche su questo.
Allora ho qualche dubbio: ma il 3-ciclo $(156)$ se è uguale al prodotto delle trasposizioni $(15)(16)$, lo posso anche scrivere come il prodotto operatorio delle permutazioni $((1,2,3,4,5,6),(5,2,3,4,1,6))\circ((1,2,3,4,5,6),(6,2,3,4,5,1))$ ?
Guarda secondo me $ (15)(16) = (16) circ (15) $ quindi a me verrebbe da dire che le trasposizioni le stai leggendo al contrario 
Cmq io quest'argomento lo sto ancora studiando, infatti in questa stessa sezione c'è un mio topic di esercizi sulle permutazioni un pò più in basso rispetto a questo. La scomposizione che faccio io di solito dovrebbe essere quella più facile per esempio $ (1234) = (12)(13)(14) $ ma lo stesso ciclo si può scomporre in molti altri modi più complicati volendo.
Cmq io quest'argomento lo sto ancora studiando, infatti in questa stessa sezione c'è un mio topic di esercizi sulle permutazioni un pò più in basso rispetto a questo. La scomposizione che faccio io di solito dovrebbe essere quella più facile per esempio $ (1234) = (12)(13)(14) $ ma lo stesso ciclo si può scomporre in molti altri modi più complicati volendo.
Si in effetti i prodotti di permutazioni le leggo da destra verso sinistra (come da definizione di composizione funzionale), però ho trovato che alcuni invece le considerano da sinistra a destra; però a seconda del caso si ottengono dei risultati differenti e questo mi crea un pò di confusione....
Io faccio così: se c'è il cerchietto $ \circ $ leggo da destra a sinistra, altrimenti da sinistra a destra, poi può essere che le notazioni variano da testo a testo, ma non saprei dirtelo... 
Già. Ad esempio nella dispensa del mio docente c'è scritto:
"..In luogo di $sigma \circ tau$ preferiremo la notazione $sigma * tau$, o anche $sigma tau$."
mentre nella dispensa del Campanella si trova scritto:
$tau \circ sigma = ((1,2,...,n),(tau_1,tau_2,...,tau_n)) \circ ((1,2,...,n),(sigma_1,sigma_2,...,sigma_n))$
"Ci sembra però più conveniente scrivere $sigma tau$ in luogo di $sigma \circ tau$."
Quindi sembra proprio che "invertano" la notazione.
"..In luogo di $sigma \circ tau$ preferiremo la notazione $sigma * tau$, o anche $sigma tau$."
mentre nella dispensa del Campanella si trova scritto:
$tau \circ sigma = ((1,2,...,n),(tau_1,tau_2,...,tau_n)) \circ ((1,2,...,n),(sigma_1,sigma_2,...,sigma_n))$
"Ci sembra però più conveniente scrivere $sigma tau$ in luogo di $sigma \circ tau$."
Quindi sembra proprio che "invertano" la notazione.
mmm queste scelte diverse che si adoperano non fanno altro che confondermi le idee...
Io andavo a effettuare la composizione di permutazioni da sinistra a destra mentre ho notato che il mio libro le fa da destra a sinistra...
Ma non c'è una qualche convenzione fissa che esprime il verso in cui agire?
Anche guardando su wikipedia mi sembra che esso usi il verso da sinistra a destra...questa divergenza di procedimento non fa altro che creare dubbi
Io andavo a effettuare la composizione di permutazioni da sinistra a destra mentre ho notato che il mio libro le fa da destra a sinistra...
Ma non c'è una qualche convenzione fissa che esprime il verso in cui agire?
Anche guardando su wikipedia mi sembra che esso usi il verso da sinistra a destra...questa divergenza di procedimento non fa altro che creare dubbi
Ci vorrebbe il parere di qualche esperto.... Martino tu che dici (speriamo legga...
) ??
) ??
Nessun aiuto?
Alcuni vanno da destra a sinistra, alcuni da sinistra a destra. Non c'è una convenzione fissa.
Io mi sto abituando ad andare da sinistra a destra dato che il GAP (un programma per lavorare coi gruppi) va da sinistra a destra. Ma mi sembra che comunque la maggior parte dei testi vadano da destra a sinistra.
Io mi sto abituando ad andare da sinistra a destra dato che il GAP (un programma per lavorare coi gruppi) va da sinistra a destra. Ma mi sembra che comunque la maggior parte dei testi vadano da destra a sinistra.
Ho capito, però nei casi come quello indicato da zipangulu effettuando il prodotto da destra verso sinistra si ottiene una permutazione, mentre da sinistra verso destra se ne ottiene un'altra, devo allora supporre che sono corrette entrambe?
"GundamRX91":Oddio, forse non mi sono spiegato bene
Ho capito, però nei casi come quello indicato da zipangulu effettuando il prodotto da destra verso sinistra si ottiene una permutazione, mentre da sinistra verso destra se ne ottiene un'altra, devo allora supporre che sono corrette entrambe?
No, solo una è corretta, ma non so quale sia. Zipangulu dovrebbe consultare il testo in cui si trova l'esercizio per risalire alle convenzioni usate in quel testo, oppure, nel caso in cui l'esercizio gli sia stato dato da una persona, chiedere a quella persona che convenzione usa quando compone le permutazioni.
Diciamo allora che le permutazioni sono entrambe corrette nell'ambito di convezione usato 
Se non sbaglio avevo già risposto , ora non ricordo , che ho guardato per bene il mio libro di testo e lui opera da destra verso sinistra , mentre wikipedia se non ricordo male operava nel verso contrario , cioè da sinitra verso destra...detto tutto ciò secondo me andrebbe stabilito un verso in forma di convenzione in modo da non creare tutta questa confusione...
Sono d'accordo con te, però se il tutto è lasciato a chi espone la teoria allora entrambi i prodotto sono corretti, ma anche errati
Guarda io ho controllato anche l'Artin e l'Heirstein, ed entrambi usano la notazione da sinistra verso destra (se non ricordo male). Io a questo punto, onde evitare problemi all'esame, uso quella del mio docente.
Guarda io ho controllato anche l'Artin e l'Heirstein, ed entrambi usano la notazione da sinistra verso destra (se non ricordo male). Io a questo punto, onde evitare problemi all'esame, uso quella del mio docente.
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