Dubbio su passaggi algebrici

[katiat89]

Ciao, ho provato a svolgere questo esercizio in 2 modi e mi aspettavo che il risultato venisse uguale, mentre è completamente diverso e non riesco a capire dove ho sbagliato... grazie

allora, io devo trovare lo sviluppo al secondo ordine (con gli sviluppi di Taylor) di: $1/root(n)(e)$

prima la provo a scrivere così:

$1/e^(1/n)$ , prendo $e^(1/n)$ e lo sviluppo: $1+1/n+1/(2n^2)$ = $(2n^2+2n+1)/(2n^2)$ , poi, dato che all'inizio mi chiedeva il reciproco, inverto numeratore e denominatore, ottenendo $(2n^2)/(2n^2+2n+1)$

ora, invece provo a farlo in un altro modo, scrivendo la funzione di partenza così:

$e^-(1/n)$ , ora applico Taylor: $1-1/n+1/2n^2$ = $(2n^2-2n+1)/(2n^2)$ .....ma i risultati sono completamente diversi!!!

quello giusto dovrebbe essere il secondo, ma nel primo dove sbaglio???

grazie in anticipo!!! ciao

[ViciousGoblin]

"katiat89":Ciao, ho provato a svolgere questo esercizio in 2 modi e mi aspettavo che il risultato venisse uguale, mentre è completamente diverso e non riesco a capire dove ho sbagliato... grazie

allora, io devo trovare lo sviluppo al secondo ordine (con gli sviluppi di Taylor) di: $1/root(n)(e)$

prima la provo a scrivere così:

$1/e^(1/n)$ , prendo $e^(1/n)$ e lo sviluppo: $1+1/n+1/(2n^2)$ = $(2n^2+2n+1)/(2n^2)$ , poi, dato che all'inizio mi chiedeva il reciproco, inverto numeratore e denominatore, ottenendo $(2n^2)/(2n^2+2n+1)$

ora, invece provo a farlo in un altro modo, scrivendo la funzione di partenza così:

$e^-(1/n)$ , ora applico Taylor: $1-1/n+1/2n^2$ = $(2n^2-2n+1)/(2n^2)$ .....ma i risultati sono completamente diversi!!!

quello giusto dovrebbe essere il secondo, ma nel primo dove sbaglio???

grazie in anticipo!!! ciao

Ahi, gli o-piccoli ....

Il problema e' che hai scritto degli $=$ tra quantita' che eguali non sono. Se scrivi correttamente ti accorgi come vanno le cose.
$e^{1/n}=1+1/n+1/2 1/n^2+o(1(n^2))$ da cui
$e^{-1/n}=\frac{1}{1+1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)}=???$.

Se vuoi seguire questa strada puoi fare

$\frac{1}{1+1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)}=1+\frac{1}{1+1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)}-1=1+\frac{-1/n-1/2 1/n^2-o(1/n^2)}{1+1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)}=1-1/n\frac{1+1/2 1/n+o(1/n)}{1+1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)}=$
$1-1/n\frac{1+1/2 1/n+o(1/n)}{1+1/n+o(1/n)}=1-1/n(1+\frac{1+1/2 1/n+o(1/n)}{1+1/n+o(1/n)}-1)=1-1/n(1+\frac{1/2 1/n-1/n+o(1/n)}{1+1/n+o(1/n)})=1-1/n(1+\frac{-1/2 1/n+o(1/n)}{1+o(1)})=$
$1-1/n-1/n(-1/2 1/n\frac{1+o(1)}{1+o(1)})=1-1/n+1/2 1/n^2(1+o(1))=1-1/n+1/2 1/n^2+o(1/n^2)$

che coincide con quanto trovi (in maniera piu' facile, almeno in questo caso) con l'altro procedimento.

P.S: spero non ci siano troppi errori di battitura.