Dubbio su: gruppo delle permutazioni
Ciao a tutti, vorrei chiedere riguardo a una definizione:
$Sym_X$ $ $ $:=$ $U(X^(X), o)$ è detto gruppo delle permutazioni di X o gruppo simmetrico su X.
dove $X^X$ è l'insieme delle funzioni biiettive da X in X (ossia, le permutazioni) e con "o" ho indicato la composizione tra funzioni.
Il simobolo $U(X^X, o)$, stando a quanto detto dalla mio prof., indica l'insieme degli elementi invertibili di $(X^X, o)$. Quindi $Sym_X$ è l'insieme degli elementi invertibili di $(X^X, o)$. Le domande sono:
a costituire il gruppo delle permutazioni è l'insieme $Sym_X$ con l'operazione di composizione $o$, cioè $(Sym_X, o)$ ?
$Sym_X$ e $X^X$, in questo caso coincidono oppure no ?A me sembra che $Sym_X sube X^X$, quindi $(Sym_X,o)$ è una sottostruttura di $(X^X, o)$.
Rimango in attesa di una risposta. Grazie in anticipo.
$Sym_X$ $ $ $:=$ $U(X^(X), o)$ è detto gruppo delle permutazioni di X o gruppo simmetrico su X.
dove $X^X$ è l'insieme delle funzioni biiettive da X in X (ossia, le permutazioni) e con "o" ho indicato la composizione tra funzioni.
Il simobolo $U(X^X, o)$, stando a quanto detto dalla mio prof., indica l'insieme degli elementi invertibili di $(X^X, o)$. Quindi $Sym_X$ è l'insieme degli elementi invertibili di $(X^X, o)$. Le domande sono:
a costituire il gruppo delle permutazioni è l'insieme $Sym_X$ con l'operazione di composizione $o$, cioè $(Sym_X, o)$ ?
$Sym_X$ e $X^X$, in questo caso coincidono oppure no ?A me sembra che $Sym_X sube X^X$, quindi $(Sym_X,o)$ è una sottostruttura di $(X^X, o)$.
Rimango in attesa di una risposta. Grazie in anticipo.
Risposte
\(X^X\) è l'insieme di tutte le funzioni \(X\to X\).
La composizione di endofunzioni lo rende un monoide (la funzione identica è l'elemento neutro per la composizione di funzioni); ad ogni monoide $(M,\cdot,1)$ si associa l'insieme dei suoi elementi invertibili, o "unità" di $M$, \(U(M,\cdot,1)\) o \(UM\) per brevità. Il gruppo simmetrico di $X$ è esattamente \(U(X^X,\circ,\text{id}_X)\).
La composizione di endofunzioni lo rende un monoide (la funzione identica è l'elemento neutro per la composizione di funzioni); ad ogni monoide $(M,\cdot,1)$ si associa l'insieme dei suoi elementi invertibili, o "unità" di $M$, \(U(M,\cdot,1)\) o \(UM\) per brevità. Il gruppo simmetrico di $X$ è esattamente \(U(X^X,\circ,\text{id}_X)\).
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